《2025年万唯中考大小卷八年级数学下册人教版安徽专版》

19. (10分)如图，四边形ABCD是矩形，BD是对角线，小明在矩形ABCD中用尺规作出直线MN并保留了作图痕迹，MN分别交AD，BC于点E，F，连接BE，DF.
(1)判断四边形BEDF的形状，并说明理由；
(2)若S四边形BEDF = $\frac{2}{3}$S矩形ABCD，试探究线段AD与AB之间的数量关系.

答案： 解：
(1)四边形 BEDF 是菱形，理由如下：
由尺规作图可知 MN 垂直平分 BD，
∴ BE = DE，BF = DF，EF⊥BD，
∴ ∠BEF = ∠DEF.
∵ 四边形 ABCD 为矩形，
∴ AD//BC，
∴ ∠DEF = ∠BFE，
∴ ∠BEF = ∠BFE，
∴ BE = BF，
∴ BE = BF = DF = DE，
∴ 四边形 BEDF 为菱形； ……………………（5 分）
(2)
∵ S_{四边形BEDF}=$\frac{2}{3}$S_{矩形ABCD}，
设 AE = x，则 DE = AD - x，
又
∵ S_{四边形BEDF}=AB·(AD - x)，S_{矩形ABCD}=AB·AD，
即 AB·(AD - x)=$\frac{2}{3}$AB·AD，化简得 AD = 3x，
∴ DE = BE = AD - AE = 2x.
∵ 四边形 ABCD 是矩形，
∴ ∠A = 90°，
在 Rt△ABE 中，AB = $\sqrt{BE^{2}-AE^{2}}$=$\sqrt{(2x)^{2}-x^{2}}$=$\sqrt{3}x$，
∴ AD = $\sqrt{3}$AB. ………………………（10 分）

20. (10分)(教材P51第14题改编)如图，用硬纸板剪一个矩形ABCD，对角线AC，BD交于点O，用大头针把一根平放在矩形上的直细木条(宽度忽略不计)固定在点O处，并使细木条可以绕点O转动. 拨动细木条，使它总与AD，BC有交点. 设细木条分别交硬纸板的边AD，BC于点E，F.
(1)任选1个结论证明：①OE = OF；②AE = CF；
(2)在细木条转动过程中，当E，F恰好是AD，BC的中点时，对角线AC上有一点P，使∠EPF = 90°，若AB = 5，BC = 12，求AP的长.

答案：
解：
(1)选择①OE = OF.
证明：
∵ 四边形 ABCD 是矩形，对角线 AC，BD 交于点 O，
∴ AO = CO，AD//BC，
∴ ∠EAO = ∠FCO，
在△AOE 和△COF 中，$\begin{cases}∠EAO = ∠FCO, \\AO = CO, \\∠AOE = ∠COF,\end{cases}$
∴ △AOE≌△COF（ASA），
∴ OE = OF；（答案不唯一） …………………（5 分）
(2)如解图，由
(1)可知，
△AOE≌△COF，
∴ OE = OF，
∵ ∠EPF = 90°，
∴ OP = $\frac{1}{2}$EF.
∵ 四边形 ABCD 是矩形，
∴ AD//BC，AD = BC，AO = CO.
∵ E，F 分别是 AD，BC 的中点，
∴ AE//BF，AE = BF，
∴ 四边形 ABFE 是平行四边形.
∵ ∠ABC = 90°，
∴ 四边形 ABFE 是矩形，
∴ EF = AB = 5，
∴ OP = $\frac{1}{2}$EF = 2.5.
在 Rt△ABC 中，AC = $\sqrt{AB^{2}+BC^{2}}$=$\sqrt{5^{2}+12^{2}}$=13，
∴ AO = CO = $\frac{1}{2}$AC = 6.5.
如解图，点 P 的位置需分情况讨论：
①当 P 在 AO 上时，AP' = AO - OP' = 6.5 - 2.5 = 4；
②当 P 在 CO 上时，AP'' = AO + OP'' = 6.5 + 2.5 = 9.
综上所述，AP 的长为 4 或 9. ……………（10 分）

第 20 题解图

21. (12分)(全国新考法·综合与实践——类比猜想)【问题情境】数学活动课上，老师提出了一个问题：如图①，在正方形ABCD中，E，F分别是边BC，CD上的点，连接AE，BF相交于点G，请同学们结合图形提出自己的猜想并证明.
小亮猜想：若AE⊥BF，则AE = BF.
(1)请帮助小亮证明他的猜想；
【类比猜想】(2)如图②，当点E，F分别在正方形ABCD的边CB，DC的延长线上时，小亮的猜想是否成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由；
【拓展探究】(3)如图③，将图①中线段BF向上平移后得到线段MN，此时若MN⊥AE，则MN = AE这一猜想是否成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由.

答案：

(1)证明：
∵ 四边形 ABCD 是正方形，
∴ AB = BC，∠ABC = ∠BCD = 90°.
∵ AE⊥BF，
∴ ∠BGE = 90°，
∴ ∠GBE + ∠GEB = 90°.
∵ ∠BAE + ∠GEB = 90°，
∴ ∠BAE = ∠GBE.
在△ABE 和△BCF 中，$\begin{cases}∠BAE = ∠CBF, \\AB = BC, \\∠ABE = ∠BCF,\end{cases}$
∴ △ABE≌△BCF（ASA），
∴ AE = BF； …（3 分）
(2)解：成立. ………………………………（4 分）
证明如下：
∵ 四边形 ABCD 是正方形，
∴ AB = BC，∠ABE = ∠ABC = ∠BCF = 90°.
∵ AE⊥BF，
∴ ∠BGA = 90°，
∴ ∠BAE + ∠ABG = 90°.
∵ ∠CBF + ∠ABG = 90°，
∴ ∠BAE = ∠CBF，
在△ABE 和△BCF 中，
$\begin{cases}∠BAE = ∠CBF, \\AB = BC, \\∠ABE = ∠BCF,\end{cases}$
∴ △ABE≌△BCF（ASA），
∴ AE = BF； ………………………………（7 分）
(3)解：成立. ………………………………（8 分）
证明如下：如解图，过点 N 作 NK⊥AB 于点 K，
∵ 四边形 ABCD 是正方形，由题知四边形 ADNK 是矩形，
∴ AB = AD = KN，∠ABE = ∠BAD = ∠MKN = 90°，
∵ AE⊥MN，
∴ ∠AGM = 90°，
∴ ∠MAG + ∠AMG = 90°.
∵ ∠MNK + ∠AMG = 90°，
∴ ∠MNK = ∠MAG.
在△NKM 和△ABE 中，$\begin{cases}∠MNK = ∠EAB, \\NK = AB, \\∠NKM = ∠ABE,\end{cases}$
∴ △NKM≌△ABE（ASA），
∴ MN = AE. ………………………………（12 分）

第 21 题解图