《2025年万唯中考大小卷八年级数学下册人教版安徽专版》

16. (6分)如图，在Rt△ABC中，∠ABC = 90°，CD平分∠ACB交AB于点D，CE⊥BC，连接BE，已知CD = BE，∠E = 60°，求∠A的度数.

答案： 解：
∵ ∠ABC = 90°，CE⊥BC，
∴ ∠ABC = ∠ECB，
∴ AB//CE.
∵ CD = BE，BC = CB，
∴ Rt△BCD≌Rt△CBE（HL），
∴ BD = CE，
∴ 四边形 BDCE 是平行四边形. …………（4 分）
∵ ∠E = 60°，
∴ ∠BDC = 60°.
∵ ∠ABC = 90°，
∴ ∠BCD = 30°.
∵ CD 平分∠ACB，
∴ ∠ACB = 2∠BCD = 60°，
∴ ∠A = 30°. ………………………………（6 分）

17. (8分)数学文化情境/出入相补法 中国古代数学家刘徽在《九章算术注》中证明三角形面积公式的“出入相补法”，也可以用来证明三角形中位线定理. 如图，在△ABC中，分别取AB，AC的中点D，E，连接DE，过点A作AF⊥DE于点F，将△ABC分割成三部分然后拼成四边形BCHG. 求证：DE//BC，DE = $\frac{1}{2}$BC.

答案： 证明：
∵ AF⊥DE，
∴ ∠AFD = ∠AFE = 90°.
由“出入相补法”的变换过程可知，△BDG≌△ADF，△CEH≌△AEF，
∴ BG = AF，DG = DF，∠G = ∠AFD = 90°，CH = AF，EH = EF，∠H = ∠AFE = 90°，
∴ BG = CH，∠G + ∠H = 180°，
∴ BG//CH，
∴ 四边形 BCHG 是平行四边形， …………（5 分）
∴ DE//BC，BC = GH，
∵ DG = DF，EH = EF，
∴ DF + EF = DG + EH = $\frac{1}{2}$GH = $\frac{1}{2}$BC，
即 DE = $\frac{1}{2}$GH = $\frac{1}{2}$BC.
综上可知，DE//BC，DE = $\frac{1}{2}$BC. ……………（8 分）

18. (8分)如图，在菱形ABCD中，E为AD上的动点，F为AB的中点，连接EF并延长，交CB的延长线于点G，连接AG，BE. 已知∠D = 120°，AB = 8.
(1)求证：四边形AEBG是平行四边形；
(2)当四边形AEBG是矩形时，求AE的长.

答案：
(1)证明：
∵ 四边形 ABCD 是菱形，
∴ AD//BC，
∴ ∠AEF = ∠BGF，∠EAF = ∠GBF，
∵ F 为 AB 的中点，
∴ AF = BF，
∴ △AEF≌△BGF（AAS），
∴ AE = BG，
∵ AE//BG，
∴ 四边形 AEBC 是平行四边形；……………（4 分）
(2)解：当四边形 AEBC 为矩形时，则 BE⊥AD，
∵ 四边形 ABCD 是菱形，
∴ AD = AB = 8，AB//CD，
∴ ∠DAB = 180° - ∠D = 60°.
∴ ∠ABE = 30°，
∴ AE = $\frac{1}{2}$AB = $\frac{1}{2}$×8 = 4. ……………………（8 分）