《2025年万唯中考大小卷八年级数学下册人教版安徽专版》

19. (6分)(安徽特色题型·规律探索题)观察下列等式：
第1个等式：$a_{1}=\frac{1}{1+\sqrt{2}}=\sqrt{2}-1$；
第2个等式：$a_{2}=\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}=\sqrt{3}-\sqrt{2}$；
第3个等式：$a_{3}=\frac{1}{2+\sqrt{3}}=2-\sqrt{3}$；
第4个等式：$a_{4}=\frac{1}{\sqrt{5}+2}=\sqrt{5}-2$；
按上述规律，回答以下问题：
(1)请写出第2 025个等式：$a_{2025}=$________________；
(2)请写出第$n$个等式(用含$n$的代数式表示)，并加以证明.

答案： 解:
(1)$\frac{1}{\sqrt{2026}+\sqrt{2025}}=\sqrt{2026}-\sqrt{2025}$;
………………………… (3分)
(2)第$n$个等式为:$a_{n}=\frac{1}{\sqrt{n + 1}+\sqrt{n}}=\sqrt{n + 1}-\sqrt{n}$;
………………………… (4分)
证明如下:
$\frac{1}{\sqrt{n + 1}+\sqrt{n}}=\frac{\sqrt{n + 1}-\sqrt{n}}{(\sqrt{n + 1}+\sqrt{n})(\sqrt{n + 1}-\sqrt{n})}$
$=\frac{\sqrt{n + 1}-\sqrt{n}}{(\sqrt{n + 1})^{2}-(\sqrt{n})^{2}}$
$=\frac{\sqrt{n + 1}-\sqrt{n}}{n + 1 - n}$
$=\sqrt{n + 1}-\sqrt{n}$,
$\therefore$等式成立.
$\therefore a_{n}=\frac{1}{\sqrt{n + 1}+\sqrt{n}}=\sqrt{n + 1}-\sqrt{n}$. ………… (6分)

20. (7分)跨学科情境 物理电磁波 电视塔越高，从塔顶发射出的电磁波传播得越远，从而能收看到电视节目的区域就越广. 电视塔高$h$(单位：m)与电视节目信号的传播半径$r$(单位：m)之间存在近似关系$r=\sqrt{2Rh}$，其中$R$是地球半径，$R\approx6.4\times10^{6}m$.
(1)已知广州电视塔高约600 m，求广州电视塔发射节目信号的传播半径(结果保留两位小数，参考数据：$\sqrt{76.8}\approx8.76$)；
(2)设广州电视塔的高度为$h_{1}m$，安徽电视塔的高度为$h_{2}m$，求两塔发射节目信号的传播半径之比.

答案： 解:
(1)由题意可得$r=\sqrt{2Rh}=\sqrt{2\times6.4\times10^{6}\times600}$
$=\sqrt{76.8\times10^{8}}\approx8.76\times10^{4}(m)$,
答:广州电视塔发射节目信号的传播半径约为$8.76\times10^{4}m$;…………………… (3分)
(2)由题意可得$\frac{\sqrt{2Rh_{1}}}{\sqrt{2Rh_{2}}}=\frac{\sqrt{2Rh_{1}}\cdot\sqrt{2Rh_{2}}}{\sqrt{2Rh_{2}}\cdot\sqrt{2Rh_{2}}}$
$=\frac{\sqrt{h_{1}h_{2}}}{h_{2}}$,
答:两塔发射节目信号的传播半径之比为$\frac{\sqrt{h_{1}h_{2}}}{h_{2}}$.
………………………… (7分)