《2025年名师测控七年级数学下册北师大版山西专版》

【问题情境】
数学活动课上，老师以直线AB上一点O为端点作射线OC，OD，OM，ON，使OM平分∠AOC，ON平分∠BOD. 若∠COD = α，求∠MOC+∠DON的度数.
【特例探究】
(1)从特殊到一般是研究几何的一般思路，如图②，“兴趣小组”将一个三角尺的直角顶点放在点O处，即当∠COD = 90°时，则∠MOC + ∠DON的度数为________；(直接写出答案，不写过程)
(2)受“兴趣小组”的启发，“智慧小组”将三角尺60°角的顶点放在点O处，即当∠COD = 60°时，请你在图③中求出∠MOC+∠DON的度数；
【数学思考】
(3)请你在图①中，求∠MOC+∠DON的度数. (用含有α的式子表示)
　　

答案： 解:
(1)45°
(2)因为∠COD=60°,所以∠AOC+∠BOD=180°−∠COD=180°−60°
=120°.因为OM平分∠AOC,ON平分∠BOD,所以∠MOC=$\frac{1}{2}$∠AOC,∠DON=
$\frac{1}{2}$∠BOD.所以∠MOC+∠DON=$\frac{1}{2}$∠AOC+$\frac{1}{2}$∠BOD=$\frac{1}{2}$(∠AOC+∠BOD)=
$\frac{1}{2}$×120°=60°;
(3)因为∠COD=α,所以∠AOC+∠BOD=180°−∠COD=180°−α.
因为OM平分∠AOC,ON平分∠BOD,所以∠MOC=$\frac{1}{2}$∠AOC,∠DON=$\frac{1}{2}$∠BOD.
所以∠MOC+∠DON=$\frac{1}{2}$∠AOC+$\frac{1}{2}$∠BOD=$\frac{1}{2}$(∠AOC+∠BOD)=$\frac{1}{2}$(180°−α)
=90° - $\frac{\alpha}{2}$.

2. “字母表示数”的系统化阐述是16世纪提出的，被后人称为从“算术”到“代数”的一次飞跃，从而大大推动了数学的发展. 经过初中数学的学习，我们知道了用字母表示数可以分析从特殊到一般的数学规律，字母与数一样，也可以参与运算. 请同学们观察下列关于正整数的平方拆分的等式：
第1个等式：2² = 1 + 1² + 2；
第2个等式：3² = 2 + 2² + 3；
第3个等式：4² = 3 + 3² + 4；
第4个等式：5² = 4 + 4² + 5；
…
(1)请用此方法拆分2025²；
(2)请你用上面的规律归纳出一个一般的结论(用含n的等式表示，n为正整数)，并运用有关知识，推理说明这个结论是正确的.

答案： 解:
(1)2025² = 2024 + 2024² + 2025;
(2)第n个等式:(n + 1)² = n + n² + (n + 1).因为左边=(n + 1)² = n² + 2n + 1,右边=n + n² + (n + 1) = n² + 2n + 1,所以左边 = 右边.所以(n + 1)² = n + n² + (n + 1)是正确的.