《2025年名师测控七年级数学下册北师大版山西专版》

1.计算：$-2x(3x^{2}y - 2xy)=$____________。

答案： $4x^{2}y - 6x^{3}y$

2.已知$(a + b)^{2}=25,ab = 6$，则$a - b$的值为_________。

答案： 1或 -1

1.（2024·甘肃临夏州）下列各式运算结果为$a^{5}$的是（ ）
A. $a^{2}+a^{3}$
B. $a^{2}\cdot a^{3}$
C. $a^{10}\div a^{2}$
D. $(a^{2})^{3}$

答案： B

2.（2024·四川成都）下列计算正确的是（ ）
A. $(3x)^{2}=3x^{2}$
B. $3x + 3y = 6xy$
C. $(x + y)^{2}=x^{2}+y^{2}$
D. $(x + 2)(x - 2)=x^{2}-4$

答案： D

3.（2024·运城期末）生物课上，老师带领学生做实验——“制作并观察洋葱鳞片叶内表皮细胞临时装片”，所有同学经过操作，都观察到清晰的物像.科学研究表明，洋葱表皮细胞的细胞核直径大约是0.0000026m.数据“0.0000026”用科学记数法表示正确的是（ ）
A. $2.6\times10^{-5}$
B. $26\times10^{-5}$
C. $2.6\times10^{-6}$
D. $26\times10^{-7}$

答案： C

4.通过计算几何图形的面积可表示一些代数恒等式，小明从图中得到的一个代数恒等式是（ ）

A. $x(x + y)=2x + xy$
B. $(x + y)(x + y)=x^{2}+y^{2}$
C. $(x + y)(x + 2y)=x^{2}+2y^{2}$
D. $(x + 2y)(x + y)=x^{2}+3xy + 2y^{2}$

答案： D

5.（2024·太原期末）先化简，再求值：$[(2x + y)(2x - y)+(x - y)^{2}]\div x$，其中$x = -2,y = 3$。

答案： 解：原式$=(4x^{2}-y^{2}+x^{2}-2xy + y^{2})\div x=(5x^{2}-2xy)\div x = 5x - 2y$. 当$x = -2$，$y = 3$时，原式$=5\times(-2)-2\times3=-16$.

6.（2024·晋城期中）综合与实践
【阅读材料】
我国著名数学家华罗庚教授曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事休”.数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形结合起来，可以使复杂、难懂的问题具体化，从而把握数学问题的本质，实现优化解题的目的.例如，教材在探究平方差与完全平方公式时，就利用了数形结合的方法.
【类比探究】
对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积可以得到一个数学等式.如图，若将图①中的阴影部分（四个全等的小正方形）移动变换成如图②所示的图形，根据两个图形中阴影部分的关系，解答下列问题.

（1）写出图①所表示的数学等式：________；
【解决问题】
（2）利用（1）中得到的结论，计算：若$(6 + x)x = 7$，求$(6 + x)^{2}+x^{2}$的值；
【拓展应用】
（3）将图②阴影部分用剪刀剪去，剩下部分围成一个长方体盒子（无盖），若阴影部分的面积为$16$cm²，试求围成的长方体盒子的高.

答案： 解：
(1)$(a - b)^{2}=a^{2}-2ab + b^{2}$
(2)设$6 + x = a$，$x = b$，所以$a - b = 6 + x - x = 6$. 因为$(6 + x)x = 7$，所以$ab = 7$，所以$(6 + x)^{2}+x^{2}=a^{2}+b^{2}=(a - b)^{2}+2ab = 6^{2}+2\times7 = 36 + 14 = 50$，所以$(6 + x)^{2}+x^{2}$的值为50；
(3)因为阴影部分的面积为$16cm^{2}$，所以$(a - b)^{2}=16$，所以$a - b = 4$或$a - b = -4$(舍去). $\frac{a - b}{2}=\frac{4}{2}=2(cm)$，所以这个长方体盒子的高为2 cm.