《2025年名师测控七年级数学下册北师大版山西专版》

8. 婷婷在计算一个二项式的平方时，得到的正确结果是$9x^2 + 24xy + ■$，但最后一项不慎被污染了，这一项应是 （ ）
A. $16y^2$
B. $8y^2$
C. $4y^2$
D. $\pm16y^2$

答案： A

9.（2024·运城盐湖区期末）若$x^2 + kx + 81$是完全平方式，则$k$的值应是________.

答案： $\pm18$

10. 若正方形的边长增加3 cm，其面积增加$27$ $cm^2$，则该正方形的边长是______ cm.

答案： 3

11. 数学文化 杨辉三角（教材$P_{22}$“阅读·思考”变式）我国古代数学的许多创新和发展都位居世界前列，如南宋数学家杨辉（约13世纪中叶）所著的《详解九章算法》一书中，用如图所示的三角形解释二项和$(a + b)^n$的展开式的各项系数，此三角形被称为“杨辉三角”.根据“杨辉三角”，设$(a + b)^5$的展开式中第三项的系数为$m$，$(a + b)^{10}$的展开式中第三项的系数为$n$，则$m + n =$________.

答案： 55

12. 新考向 过程性学习（2024·临汾期中）计算：
下面是小明进行整式运算的过程：
化简求值：$(3x + 1)(3x - 1) - (2x - 1)^2$.其中$x = -1$.
解：原式$= 9x^2 - 1 - (4x^2 - 2x + 1)$ 第一步
$= 9x^2 - 1 - 4x^2 + 2x - 1$ 第二步
$= 5x^2 + 2x - 2$ 第三步
当$x = -1$时，
原式$= 5×(-1)^2 + 2×(-1) - 2 = 1$.
（1）以上解题过程中，从第______步开始出现错误，错误的原因是____________；
（2）写出正确的解答过程.

答案： 解：
(1)用完全平方公式计算，原式$=9x^{2}-1-(4x^{2}-4x + 1)=9x^{2}-1 - 4x^{2}+4x - 1=5x^{2}+4x - 2$. 当$x = -1$时，原式$=5\times(-1)^{2}+4\times(-1)-2=5 - 4 - 2=-1$.

13. 从特殊到一般 观察下列等式：
第1个等式：$(2×1 + 1)^2 = (2×2 + 1)^2 - (2×2)^2$，
第2个等式：$(2×2 + 1)^2 = (3×4 + 1)^2 - (3×4)^2$，
第3个等式：$(2×3 + 1)^2 = (4×6 + 1)^2 - (4×6)^2$，
第4个等式：$(2×4 + 1)^2 = (5×8 + 1)^2 - (5×8)^2$，
……
按照以上规律，解答下列问题：
（1）写出第5个等式：____________________；
（2）写出你猜想的第$n$个等式（用含$n$的式子表示），并验证.

答案： 解：
(1)$(2\times5 + 1)^{2}=(6\times10 + 1)^{2}-(6\times10)^{2}$
(2)第$n$个等式：$(2n + 1)^{2}=[(n + 1)\cdot2n + 1]^{2}-[(n + 1)\cdot2n]^{2}$. 验证：左边$=4n^{2}+4n + 1$，右边$=[(n + 1)\cdot2n]^{2}+2\cdot(n + 1)\cdot2n + 1^{2}-[(n + 1)\cdot2n]^{2}=4n^{2}+4n + 1$，所以左边 = 右边，即等式成立.