《2025年阳光夺冠八年级数学下册》

17. (12分)已知$a = 2+\sqrt{3}$，$b = 2-\sqrt{3}$，求：
(1)$\frac{a}{b}-\frac{b}{a}$； (2)$a^{2}-ab + b^{2}$.

答案： 解:
(1)当a = 2 + √3,b = 2 - √3时,
原式=$\frac{2+\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}-\frac{2-\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}}=\frac{(2+\sqrt{3})^{2}}{(2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3})}-\frac{(2-\sqrt{3})^{2}}{(2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3})}=\frac{7 + 4\sqrt{3}}{4 - 3}-\frac{7 - 4\sqrt{3}}{4 - 3}=7 + 4\sqrt{3}-7 + 4\sqrt{3}=8\sqrt{3}$;
(2)当a = 2 + √3,b = 2 - √3时,
原式=(a + b)² - 3ab = (2 + √3 + 2 - √3)² - 3×(2 + √3)(2 - √3) = 16 - 3×(4 - 3) = 16 - 3 = 13.

18. (12分)如图，在四边形$ABCD$中，$E$，$F$分别为对角线$BD$上的两点，且$BE = DF$.
(1)若四边形$AECF$是平行四边形，求证：四边形$ABCD$是平行四边形；
(2)若四边形$AECF$是菱形，则四边形$ABCD$是菱形吗？请说明理由；
(3)若四边形$AECF$是矩形，则四边形$ABCD$是矩形吗？不必写出理由.

答案：

(1)证明:如图,连接AC交BD于点O.
∵四边形AECF是平行四边形,
∴OA = OC,OE = OF.

∵BE = DF,
∴OB = OD,
∴四边形ABCD是平行四边形;
(2)解:四边形ABCD是菱形.理由如下:
∵四边形AECF是菱形,
∴AC⊥BD.
由
(1)知,四边形ABCD是平行四边形,
∴四边形ABCD是菱形;
(3)解:四边形ABCD不是矩形.理由如下:
∵四边形AECF是矩形,
∴OA = OC,OE = OF,AC = EF,
∴OA = OC = OE = OF.
∵BE = DF,
∴OB = OD,
∴AC＜BD,
∴四边形ABCD是平行四边形,不是矩形.