《2025年阳光夺冠八年级数学下册》

24.(14分)材料阅读：给定三个数$a$，$b$，$c$，若它们满足$a^2 + b^2 = c^2$，则称$a$，$b$，$c$这三个数为“勾股数”. 例如：
①$3^2 = 9$，$4^2 = 16$，$5^2 = 25$.
∵$9 + 16 = 25$，即$3^2 + 4^2 = 5^2$，∴3，4，5这三个数为勾股数.
②$5^2 = 25$，$12^2 = 144$，$13^2 = 169$.
∵$25 + 144 = 169$，即$5^2 + 12^2 = 13^2$，∴5，12，13这三个数为勾股数.
如图，若三角形的三条边$a$，$b$，$c$满足勾股数，即$a^2 + b^2 = c^2$，则这个三角形为直角三角形，且$a$，$b$分别为直角的两条邻边.
　　　　　　　　　　
根据以上信息，解答下列问题：
(1)试判断8，15，17是否为勾股数；
(2)若某三角形的三边长分别为7，24，25，求其面积；
(3)已知某直角三角形的两边长为6和8，求其周长.

答案： 解：
(1)
∵$8^{2}+15^{2}=17^{2}$，且8，15，17都是正整数，
∴8，15，17是勾股数；
(2)
∵$7^{2}+24^{2}=25^{2}$，
∴该三角形是直角三角形，
∴该三角形的面积为$\frac{1}{2}\times7\times24 = 84$；
(3)当8是直角边时，则另一条边为$\sqrt{8^{2}+6^{2}} = 10$，周长为6 + 8 + 10 = 24；
当8是斜边时，则另一条边为$\sqrt{8^{2}-6^{2}}=2\sqrt{7}$，周长为6 + 8 + 2$\sqrt{7}=14 + 2\sqrt{7}$.
故直角三角形的周长为24或$14 + 2\sqrt{7}$.