《2025年新课程学习与检测七年级数学上册》

21. (8分)某综合实践小组进行废物再利用的环保小卫士行动.他们准备用废弃的宣传单制作装垃圾的无盖纸盒.
(1)若准备制作一个无盖的正方体形纸盒，图1中的B图形经过折叠能围成无盖正方体形纸盒.
(2)图2是小丽的设计图，把它折成无盖正方体形纸盒后，与“环”字相对的字是小.
(3)如图3所示，有一张边长为40cm的正方形废弃宣传单，小丽准备将其四角各剪去一个小正方形，折成无盖长方体形纸盒.
①若折成纸盒的高为5cm，四角应各剪去边长为5cm的小正方形；
②计算此长方体形纸盒的容积.

答案：
(1)B
(2)小
(3)①5
②解：$(40 - 2×5)^2×5 = 4500(cm^3)$.
答：此长方体形纸盒的容积为4500 $cm^3$.

22. （10分）图1至图3是将正方体截去一部分后得到的多面体.
（1）根据要求填写表格.

（2）猜想$f$，$v$，$e$三个量间的关系.
（3）根据猜想计算，若一个多面体的顶点有2024个，棱有4035条，试求出它的面数.
（4）某个玻璃饰品的外形是简单多面体，它的外表面由三角形和八边形两种多边形拼接而成，且有24个顶点，每个顶点处都有3条棱.设该多面体外表面三角形的个数为$x$，八边形的个数为$y$，求$x + y$的值.

答案： 解：
(1)根据题意填写表格，如下表所示.
图序 面数(f) 顶点数(v) 棱数(e)
图1 7 9 14
图2 6 8 12
图3 7 10 15
(2)根据图1得7 + 9 - 14 = 2，
根据图2得6 + 8 - 12 = 2，
根据图3得7 + 10 - 15 = 2.
由此猜想：f，v，e三个量间的关系为f + v - e = 2.
(3)
∵v = 2024，e = 4035，f + v - e = 2，
∴f + 2024 - 4035 = 2，
解得f = 2013，
即它的面数是2013.
(4)
∵多面体有24个顶点，每个顶点处都有3条棱，两点确定一条直线，
∴多面体的棱共有24×3÷2 = 36(条).
设总面数为f，则24 + f - 36 = 2，
解得f = 14，
∴x + y = 14.