《2025年新课程学习与检测七年级数学上册》

24. (12分)数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，初中数学里的代数公式，很多都可以借助几何图形进行直观推导和解释。
【方法初探】
(1)例如：求$1 + 2 + 3 + 4 + ·s + n$的值(其中$n$是正整数)。
方案如下：如图1所示，斜线左边的三角形图案是由上到下每层依次1，2，3，…，$n$个小圆圈排列组成的，而组成整个三角形的小圆圈的个数恰为所求式子$1 + 2 + 3 + 4 + ·s + n$的值。为求式子的值，现把左边三角形倒放于斜线右边，与原三角形组成一个平行四边形。此时，组成平行四边形的小圆圈共有n行，每行有n+1个小圆圈，所以组成一个三角形的小圆圈的个数为$1 + 2 + 3 + 4 + ·s + n=$$\frac{n²+n}{2}$。
【探索归纳】
(2)下面，我们将利用数形结合尝试求$1^{3}+2^{3}+3^{3}+·s + n^{3}$的值(其中$n$是正整数)。
请仔细观察图2，找出图形与算式之间的关系，解决下列问题。
①探索规律：根据前面的规律，第5个图形可以表示的等式为1³+2³+3³+4³+5³=15²；
②归纳结论：$1^{3}+2^{3}+3^{3}+·s + n^{3}=$$\frac{n²(n+1)²}{4}$(结果用含$n$的代数式表示)。
【拓展应用】
(3)求$\frac{1^{3}+2^{3}+3^{3}+·s + 100^{3}}{1 + 2 + 3 + ·s + 100}$的值。

答案： 24.
(1)n　n+1　$\frac{n²+n}{2}$
(2)①1³+2³+3³+4³+5³=15²
　　②$\frac{n²(n+1)²}{4}$
(3)解:原式=$\frac{(1+2+3+·s+100)²}{1+2+3+·s+100}$
　　　　　　=$\frac{1+2+3+·s+100}{1}$
　　　　　　=$\frac{100×(100+1)}{2}$
　　　　　　=5050.