《2025年新课程学习与检测七年级数学上册》

22. (10分)如图所示,若点$A,B$在数轴上分别表示有理数$a,b$,$A,B$两点之间的距离表示为$AB$,则$AB = |a - b|$,所以式子$|x - 3|$的几何意义是数轴上表示有理数$x$的点与表示有理数3的点之间的距离.根据上述材料,解答下列问题.

(1) 若$|x - 1| = 2$,则$x=$3或-1.
(2) 若$|x - 5| = |x + 1|$,则$x=$2.
(3) 式子$|x - 3|+|x + 2|$的最小值为5.
(4) 若$|x - 3|+|x + 2| = 7$,则$x=$4或-3.
(5) 式子$|x + 2|+|x - 1|+|x - 3|$的最小值为5,此时$x=$1.

答案： 22.
(1)3或-1
(2)2 解析：根据绝对值的几何意义，
|x-5|=|x+1|表示x到5的距离等于x
到-1的距离，
∴x在5和-1之间.
∴5-x=x+1,解得x=2.
(3)5 解析：根据绝对值的几何意义，
|x-3|+|x+2|的最小值表示x到3的距离与x到-2的距离之和最小，
∴x在3和-2之间的线段上.
∴|x-3|+|x+2|的最小值是3-x+x+
2=5.
(4)4或-3 解析：根据绝对值的几何意
义，|x-3|+|x+2|=7表示x到3的距离与x到-2的距离之和等于7.
当x在-2左侧时,x＜-2,3-x-x-2=
7,解得x=-3;
当x在3右侧时,x＞3,x-3+x+2=7,
解得x=4.
(5)5 1 解析：根据绝对值的几何意义，
|x+2|+|x-1|+|x-3|的最小值表示x
到-2的距离与x到1的距离与x到3距离之和最小.
由
(3)可知x在3和-2之间的线段上时，
|x-3|+|x+2|取最小值5,
当x=1时,|x-1|取最小值0,
∴当x=1时,|x+2|+|x-1|+|x-3|
取最小值5.

23. (6分)如图所示,在数轴上,点$A$表示的数是8.若动点$P$从原点$O$出发,以每秒2个单位长度的速度向左运动,同时,另一动点$Q$从点$A$出发,以每秒4个单位长度的速度也向左运动,到达原点$O$后立即以原来的速度返回,向右运动,运动到点$A$停止.设运动的时间为$t\ s$.

(1) 当$t = 0.5$时,点$Q$到原点$O$的距离为6.
(2) 当$t = 2.5$时,求点$Q$到原点$O$的距离.
(3) 当点$Q$到原点$O$的距离为4时,求点$P$到原点$O$的距离.

答案： 23.
(1)6 解析：当t=0.5时,AQ=4t=4×
0.5=2.
∵OA=8,
∴OQ=OA-AQ=8-2=6.
∴点Q到原点O的距离为6.
(2)解：当t=2.5时,点Q运动的距离为
4t=4×2.5=10.
∵OA=8,
∴OQ=10-8=2.
∴点Q到原点O的距离为2.
(3)解：当点Q到原点O的距离为4时,
OQ=4.
当点Q向左运动时,OA=8,则AQ=4,
∴t=1,OP=2.
当点Q向右运动时,OQ=4,
∴点Q运动的距离是8+4=12.
∴运动时间t=12÷4=3.
∴OP=2×3=6.
∴点P到原点O的距离为2或6.