《2025年新课程学习与检测七年级数学上册》

20. (6分)老师在黑板上写了一个正确的演算过程,随后用手掌捂住了多项式,形式如下:
+3(a^{2}-4ab+4b^{2})=5a^{2}+2b^{2}$。
(1)求手捂住的多项式。
(2)若$a,b$满足$(a+1)^{2}+|b-\frac {1}{2}|=0$,请求出所捂住的多项式的值。

答案： 20.解：
(1)根据题意得$(5a^{2}+2b^{2})-3(a^{2}-4ab + 4b^{2})$
$=5a^{2}+2b^{2}-3a^{2}+12ab-12b^{2}$
$=2a^{2}+12ab-10b^{2}$.
(2)$\because(a + 1)^{2}+\vert b-\frac{1}{2}\vert=0$,
$\therefore a + 1 = 0,b-\frac{1}{2}=0$,
解得$a=-1,b=\frac{1}{2}$.
代入多项式，得$2a^{2}+12ab-10b^{2}=2-6-\frac{5}{2}=-6.5$.

21. (4分)若多项式$mx^{3}-2x^{2}+3x-2x^{3}+5x^{2}-nx+1$不含三次项及一次项,请你确定$m,n$的值,并求出$m^{n}+(m-n)^{2026}$的值。

答案： 21.解：原式$=(m - 2)x^{3}+3x^{2}+(3 - n)x + 1$.
$\because$多项式不含三次项及一次项，
$\therefore m - 2 = 0,3 - n = 0$,
解得$m = 2,n = 3$.
$\therefore m^{n}+(m - n)^{2026}=2^{3}+(2 - 3)^{2026}=9$.

22. (6分)如图所示,长为50cm,宽为$x$cm的大长方形被分割成7小块,除阴影$A,B$外,其余5块是形状、大小完全相同的小长方形,其较短一边长为$y$cm。
(1)从图中可知,每块小长方形较长边的长是(50-3y)cm(用含$y$的代数式表示)。
(2)分别计算阴影$A,B$的周长(用含$x,y$的代数式表示),并说明阴影$A$与阴影$B$的周长差不会随着$x$的变化而变化。
(3)当$y$为何值时,阴影$A$与阴影$B$的面积差不会随着$x$的变化而变化?

答案： 22.
(1)$(50 - 3y)$
(2)解：阴影A的周长为$2(50 - 3y+x - 2y)=(2x-10y + 100)$（$cm$）,
![img alt=22题
(2)小题相关图形]
阴影B的周长为$2[3y+x-(50 - 3y)]=(2x + 12y-100)$（$cm$）,
则阴影A与阴影B的周长差为$2x-10y + 100-(2x + 12y-100)=(-22y + 200)$（$cm$）.
$\because$阴影A与阴影B的周长差和$x$无关，
$\therefore$阴影A与阴影B的周长差不会随着$x$的变化而变化.
(3)解：阴影A的面积为$(50 - 3y)(x - 2y)=(6y^{2}-3xy + 50x-100y)$（$cm^{2}$）,
阴影B的面积为$3y[x-(50 - 3y)]=(9y^{2}+3xy-150y)$（$cm^{2}$）,
则阴影A与阴影B的面积差为$6y^{2}-3xy + 50x-100y-(9y^{2}+3xy-150y)=(-3y^{2}+50y + 50x-6xy)$（$cm^{2}$）.
$\because$阴影A与阴影B的面积差不会随着$x$的变化而变化，
$\therefore50x = 6xy$,即$y=\frac{25}{3}$.
$\therefore$当$y=\frac{25}{3}$时，阴影A与阴影B的面积差不会随着$x$的变化而变化.

23. (6分)观察以下等式:
第1个等式:$1×\frac {3}{2}=\frac {2}{1}-\frac {1}{1×2}$。
第2个等式:$\frac {1}{2}×\frac {8}{3}=\frac {3}{2}-\frac {1}{2×3}$。
第3个等式:$\frac {1}{3}×\frac {15}{4}=\frac {4}{3}-\frac {1}{3×4}$。
第4个等式:$\frac {1}{4}×\frac {24}{5}=\frac {5}{4}-\frac {1}{4×5}$。
……
按照以上规律,解决下列问题。
(1)写出第5个等式:$\frac{1}{5}×\frac{35}{6}=\frac{6}{5}-\frac{1}{5×6}$。
(2)写出你猜想的第$n$个等式(用含$n$的式子表示)并证明。

答案： 23.
(1)$\frac{1}{5}×\frac{35}{6}=\frac{6}{5}-\frac{1}{5×6}$
(2)解：$\frac{1}{n}×\frac{(n + 1)^{2}-1}{n + 1}=\frac{n + 1}{n}-\frac{1}{n(n + 1)}$.
证明：$\because$左边$=\frac{n^{2}+2n}{n(n + 1)}$,
右边$=\frac{(n + 1)^{2}}{n(n + 1)}-\frac{1}{n(n + 1)}=\frac{n^{2}+2n}{n(n + 1)}$,
$\therefore$左边$=$右边，
即$\frac{1}{n}×\frac{(n + 1)^{2}-1}{n + 1}=\frac{n + 1}{n}-\frac{1}{n(n + 1)}$.