《2025年金版新学案高中物理必修第二册人教版》

例1 一小船渡河，河宽$d = 180$m，水流速度$v_{1}=2.5$m/s。小船在静水中的速度$v_{2}=5$m/s。
（1）小船渡河的最短时间为多少？此时位移多大？
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（2）欲使小船渡河的航程最短，船头应朝什么方向？用多长时间渡河？
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答案：

(1)$36\ s$ $90\sqrt{5}\ m$
(2)偏向上游与河岸成$60^{\circ}$角 $24\sqrt{3}\ s$
解析：
(1)欲使小船渡河的时间最短，船头应朝垂直河岸方向。如图甲所示

小船渡河的最短时间为
$t_{\min} = \frac{d}{v_{2}} = \frac{180}{5} s = 36 s$
此时小船的合速度大小为
$v_{合} = \sqrt{v_{1}^2 + v_{2}^2} = \frac{5\sqrt{5}}{2} m/s$
此时小船的位移$x = v_{合}t_{\min} = 90\sqrt{5}\ m$。
(2)欲使小船渡河的航程最短，小船的合运动方向应垂直河岸。船头应朝上游与河岸成某一角度$\beta$。
如图乙所示，由$v_{2}\sin\alpha = v_{1}$，可得$\alpha = 30^{\circ}$。

因此当船头朝上游与河岸成一定角度$\beta = 60^{\circ}$时航程最短，即$x_{\min} = d = 180 m$
则渡河时间$t = \frac{d}{v_{合}} = \frac{d}{v_{2}\cos 30^{\circ}} = \frac{180}{5 × \frac{\sqrt{3}}{2}} s = 24\sqrt{3} s$。

针对练1.
（2025·广东韶关高一下期末）如图所示，一次抢险救灾中消防救援队员驾船赶往现场解救被困群众安全返回岸边，某时刻船与安全的平直河岸最近距离为180m，河中各处的水流速度相同，大小为$v_{水}=3$m/s，船在静水中的速度大小为$v_{船}=4$m/s，为保证能让群众尽快脱离危险，船头始终垂直于河岸行驶，以下说法正确的是（ ）

A.船的实际行驶轨迹是曲线
B.船返回岸边最快用时为60s
C.船在水中的实际行驶速度大小为5m/s
D.若水流速度增大，船到河岸的时间将会延长

答案： C　船沿平行河岸和垂直河岸方向均做匀速运动，可知合运动为直线运动，即船的实际行驶轨迹是直线，A错误；船返回岸边最快用时为$t_{\min} = \frac{d}{v_{船}} = \frac{180}{4} s = 45 s$，B错误；船在水中的实际行驶速度大小为$v = \sqrt{v_{水}^2 + v_{船}^2} = 5 m/s$，C正确；水流速度不影响船垂直河岸的速度，则若水流速度增大，船到河岸的时间将不变，D错误。故选C。

针对练2.
（2024·四川眉山高一下期末）2024年4月，我国广东韶关、清远、广州等地出现局部特大暴雨天气，多地遭受洪涝灾害，广州成为受灾最为严重的地区之一。救援小组在某次救援时，船从距对岸最近距离为$d$的$A$点出发，经过一段时间到达对岸。已知水速恒为$v_{1}$，船在静水中的速度恒为$v_{2}$。下列说法正确的是（ ）

A.船渡河的最短时间为$\frac{d}{v_{2}}$
B.船渡河的运动是曲线运动
C.若$v_{1}＞v_{2}$，船渡河的最小位移可能为$d$
D.若$v_{1}＜v_{2}$，船渡河的位移最短时，船渡河的时间为$\frac{d}{v_{2}}$

答案： A　当船头与河岸垂直时，船渡河时间最短，则船渡河的最短时间为$t_{\min} = \frac{d}{v_{2}}$，故A正确；根据运动的合成可知，船渡河的运动是直线运动，故B错误；若$v_{1} ＞ v_{2}$，根据运动的合成可知，船不能到达正对岸，设渡河位移最小时船头与河岸上游的夹角为$\theta$，则$\cos\theta = \frac{v_{2}}{v_{1}}$，所以船渡河的最小位移为$x = \frac{d}{\cos\theta} ＞ d$，故C错误；若$v_{1} ＜ v_{2}$，船能到达正对岸，则船渡河的位移最短为$d$，由运动学公式可得，船渡河的时间为$t = \frac{d}{v_{合}} = \frac{d}{\sqrt{v_{2}^2 - v_{1}^2}}$，故D错误。故选A。

如图所示，岸上的小车A以速度v匀速向左运动，用绳跨过光滑轻质定滑轮和小船B相连。

任务1：小车A和小船B某一时刻的速度大小相等吗？如果不相等，哪个速度大？
任务2：小车A和小船B沿绳方向的速度相等吗？
任务3：从运动的合成与分解的角度看，小船上P点的速度可以分解为哪两个分速度？若某时刻连接船的绳与水平方向的夹角为α，则船的速度是多大？

答案：
任务1:不相等，船的速度大于车的速度。
任务2:相等。
任务3:如图，P点速度可以分解为沿绳方向的分速度和垂直于绳方向的分速度。

由$v = v_船\cos\alpha$可得$v_船=\frac{v}{\cos\alpha}$。