《2025年金版新学案高中物理必修第二册人教版》

例 2 （多选）如图所示，有 A、B 两颗行星绕同一颗恒星 O 做圆周运动，旋转方向相同。A 行星的周期为 $T_1$，B 行星的周期为 $T_2$，在某一时刻两行星第一次相距最近，下列判断正确的是 （ ）

A.经过时间 $t = T_1 + T_2$，两行星第二次相距最近
B.经过时间 $t = \frac{T_1T_2}{T_2 - T_1}$，两行星第二次相距最近
C.经过时间 $t = \frac{T_1 + T_2}{2}$，两行星第一次相距最远
D.经过时间 $t = \frac{T_1T_2}{2(T_2 - T_1)}$，两行星第一次相距最远

答案： 例2 BD 当两行星与恒星位于同一直线时，两行星位于恒星的同一侧时相距最近，两行星分别位于恒星的两侧时相距最远。由于两行星绕同一中心天体运行，半径越小，周期越短，故从题图位置到第二次相距最近时A比B恰好多运动一周，即$\frac{t}{T_1}-\frac{t}{T_2}=1，$可得$t=\frac{T_1T_2}{T_2-T_1}，$故A错误，B正确；同理从题图位置到第一次相距最远时A比B恰好多运动半周，即$\frac{t}{T_1}-\frac{t}{T_2}=\frac{1}{2}，$可得$t=\frac{T_1T_2}{2(T_2-T_1)}，$故C错误，D正确。故选BD。

针对练 1. 太阳系各行星几乎在同一平面内沿同一方向绕太阳做圆周运动。当地球恰好运行到某 地外行星和太阳之间，且三者几乎排成一条直线时，天文学称这种现象为“行星冲日”。已知土星绕太阳运动的轨道半径约为地球绕太阳运动的轨道半径的 9.5 倍，则相邻两次土星冲日的时间间隔约为 （ ）

A.1 年
B.2 年
C.3 年
D.4 年

答案： 针对练1.A 根据开普勒第三定律有$\frac{r_{\pm}^3}{T_{\pm}^2}=\frac{r_{地}^3}{T_{地}^2}，$解得$T_{\pm}=\sqrt{(\frac{r_{\pm}}{r_{地}})^3}T_{地}=\sqrt{9.5^3}$年$\approx29.28$年，如果两次土星冲日时间间隔为t年，则地球多转动一周，有$\frac{2\pi}{T_{地}}t-\frac{2\pi}{T_{\pm}}t=2\pi，$解得$t=\frac{T_{\pm}T_{地}}{T_{\pm}-T_{地}}\approx1$年。故选A。

针对练 2. 如图甲所示，A、B 两颗卫星在同一平面内围绕中心天体做匀速圆周运动，且绕行方向相同，图乙是两颗卫星的间距 $\Delta r$ 随时间 $t$ 的变化图像，$t = 0$ 时刻 A、B 两颗卫星相距最近。已知卫星 A 的周期 $T_{A} = \frac{7}{8}t_0$，则 A、B 两颗卫星运行轨道半径之比为 （ ）


A.$1:2$
B.$1:4$
C.$1:7$
D.$1:8$

答案： 针对练$2.B 0～t_0$时间内，A、B两卫星转过的角度关系为$\frac{2\pi}{T_A}t_0-\frac{2\pi}{T_B}t_0=2\pi，$又$T_A=\frac{7}{8}t_0，$解得$T_B=7t_0；$根据开普勒第三定律有$\frac{r_A^3}{T_A^2}=\frac{r_B^3}{T_B^2}，$可得$\frac{r_A}{r_B}=\frac{1}{4}。$故选B。