《2025年金版新学案高中物理必修第二册人教版》

例 4 如图所示，长为 $ L $ 的细绳，一端拴一质量为 $ m $ 的小球，另一端固定于 $ O $ 点，让其在水平面内做匀速圆周运动（圆锥摆），细绳与竖直方向的夹角为 $ \alpha $，重力加速度为 $ g $。求：
（1）细绳的拉力大小；
（2）小球运动的线速度大小和向心加速度大小；
（3）小球运动的角速度及周期。

答案：

(1)$\frac{mg}{\cos\alpha}$
(2)$\sqrt{gL\tan\alpha\sin\alpha}$ $g\tan\alpha$
(3)$\sqrt{\frac{g}{L\cos\alpha}}$
解析：做匀速圆周运动的小球受力如图所示，小球受重力$mg$和细绳的拉力$F$的作用。
(1)因为小球在水平面内做匀速圆周运动，所以小球受到的合力沿水平方向指向圆心$O'$。由受力分析图可知，细绳对小球的拉力大小为$F = \frac{mg}{\cos\alpha}$。
(2)由牛顿第二定律得$mg\tan\alpha = m\frac{v^{2}}{r}$
由几何关系得$r = L\sin\alpha$
所以小球做匀速圆周运动的线速度大小为$v = \sqrt{gL\tan\alpha\sin\alpha}$
小球的向心加速度大小为$a_{n} = \frac{v^{2}}{r} = g\tan\alpha$（或用牛顿第二定律求解：$a_{n} = \frac{F_{合}}{m} = \frac{mg\tan\alpha}{m} = g\tan\alpha$）。
(3)小球运动的角速度$\omega = \frac{v}{r} = \sqrt{\frac{gL\tan\alpha\sin\alpha}{L\sin\alpha}} = \sqrt{\frac{g}{L\cos\alpha}}$
小球运动的周期$T = \frac{2\pi}{\omega} = 2\pi\sqrt{\frac{L\cos\alpha}{g}}$。

针对练 1.（2025·天津市滨海新区期中）一倒立的圆锥筒，筒侧壁倾斜角度 $ \alpha $ 不变。一小球在筒的内壁做匀速圆周运动，球与筒内壁的摩擦可忽略，小球距离地面的高度为 $ H $，则下列说法中正确的是（ ）


A.$ H $ 越高，小球做圆周运动的向心加速度越大
B.$ H $ 越高，小球做圆周运动的线速度越小
C.$ H $ 越高，小球做圆周运动的角速度越小
D.$ H $ 越高，小球对侧壁的压力越小

答案：
C 小球做匀速圆周运动，由重力$mg$和支持力$F$的合力提供圆周运动的向心力，作出受力分析图如图所示，则向心力为$F_{n} = mg\tan\alpha$，由于$m$、$\alpha$不变，向心力大小不变，向心加速度不变，故A错误；根据牛顿第二定律得$F_{n} = m\frac{v^{2}}{r}$，$H$越高，$r$越大，$F_{n}$不变，则$v$越大，故B错误；由$mg\tan\alpha = m\omega^{2}r$得$\omega = \sqrt{\frac{g\tan\alpha}{r}}$，则知$H$越高，$r$越大，$\omega$越小，故C正确；侧壁对小球的支持力$F = \frac{mg}{\cos\alpha}$不变，则小球对侧壁的压力不变，故D错误。故选C。

针对练 2.（2025·天津市高一下期中）细线下端系着一个小球，手拿着细线上端，使小球在水平面内做匀速圆周运动。当小球的角速度为 $ \omega_1 $ 时，小球在较低圆周 1 上做匀速圆周运动，细线对小球拉力为 $ F_{T1} $，小球向心加速度为 $ a_1 $，小球线速度为 $ v_1 $；当小球角速度为 $ \omega_2 $ 时，小球在较高圆周 2 上做匀速圆周运动，细线对小球拉力为 $ F_{T2} $，小球向心加速度为 $ a_2 $，小球线速度为 $ v_2 $。下列说法正确的是（ ）

A.$ a_1 ＞ a_2 $
B.$ F_{T1} ＜ F_{T2} $
C.$ \omega_1 = \omega_2 $
D.$ v_1 ＞ v_2 $

答案： B 设细线与竖直方向的夹角为$\theta$，则小球的向心力为$F_{n} = mg\tan\theta$，由于$\theta_{1} ＜ \theta_{2}$，则$F_{n1} ＜ F_{n2}$，向心加速度$a_{1} ＜ a_{2}$，故A错误；细线对小球的拉力为$F_{T} = \frac{mg}{\cos\theta}$，由于$\theta_{1} ＜ \theta_{2}$，有$F_{T1} ＜ F_{T2}$，故B正确；小球在水平面内做匀速圆周运动，设细线长为$l$，根据牛顿第二定律，有$mg\tan\theta = m\omega^{2}l\sin\theta = m\frac{v^{2}}{l\sin\theta}$，可得$\omega = \sqrt{\frac{g}{l\cos\theta}}$，$v = \sqrt{gl\sin\theta\tan\theta}$，由于$\theta_{1} ＜ \theta_{2}$，则$\omega_{1} ＜ \omega_{2}$，$v_{1} ＜ v_{2}$，故C、D错误。故选B。