《2025年学习指要七年级数学上册人教版》

7. 已知点 $A$,$B$ 在数轴上分别表示有理数 $a$,$b$,则 $A$,$B$ 两点之间的距离表示为 $|AB| = |a - b|$。
(1)数轴上表示数 $x$ 和 $5$ 的两点之间的距离是$|x - 5|$；(用含 $x$ 的式子表示)
(2)当 $|x + 1| = 2$ 时,$x$ 的值为$1$或$-3$；
(3)当 $|x - 1| + |x + 3| = 8$ 时,$x$ 的值为$3$或$-5$；
(4)当代数式 $|x - 1| + |x + 3|$ 取最小值时,相应的 $x$ 的取值范围是$-3 \leq x \leq 1$,该最小值是$4$。

答案：
(1)$|x - 5|$
(2)
由$|x + 1| = 2$，
得$x + 1 = 2$或$x + 1 = -2$，
解得$x = 1$或$x = -3$。
故答案为：$1$或$-3$；
(3)
当$x \gt 1$时，
$x - 1 + x + 3 = 8$，
解得$x = 3$；
当$x \lt -3$时，
$1 - x - x - 3 = 8$，
解得$x = -5$；
当$-3\leq x\leq1$时，
$1 - x + x + 3 = 4 \neq 8$，无解；
综上，$x$的值为$3$或$-5$。
(4)
当$x \gt 1$时，
$|x - 1| + |x + 3|$
$= x - 1 + x + 3$
$= 2x + 2$
此时最小值大于$4$；
当$x \lt -3$时，
$|x - 1| + |x + 3|$
$= 1 - x - x - 3$
$= -2x - 2$
此时最小值大于$4$；
当$-3\leq x\leq1$时，
$|x - 1| + |x + 3|$
$= 1 - x + x + 3$
$= 4$
综上，当$-3\leq x\leq1$时，代数式取得最小值，最小值为$4$。
故答案为：$-3 \leq x \leq 1$；$4$。

比较大小：(1)正数大于 0,0 大于负数,正数大于负数；(2)两个负数,绝对值大的反而小；(3)数轴上左边的数小于右边的数。

答案：
(1)负数；
(2)反而小；
(3)小于

填空 比较大小：$-\frac{2}{3}$＜$\frac{1}{3}$；$-\frac{7}{9}$＜$-\frac{5}{9}$。

答案： $＜$，$＜$

例 1 比较大小：
$0$＞$-3$；$-2\frac{1}{2}$＜$-|-2\frac{1}{3}|$；$-2$＞$-5$；$-(-4)$＞$-(+5)$；
名师导引 比较有理数的大小时,先化简,再观察数的符号,最后用数轴法或绝对值法比较大小。
变式训练 比较大小：
$3$＞$|-2|$；$-|-2.3|$＜$-(-3.7)$；$-\frac{4}{5}$＜$-\frac{2}{3}$；$-\frac{6}{5}$＞$-1.5$。

答案： ＞；＜；＜；＞

例 2 有理数$m$,$n$在数轴上的对应点如图所示。
(1)在数轴上分别表示出数$-n$,$|m|$；
(2)把$m$,$n$,$-n$,$|m|$这四个数按从小到大的顺序排列,并用“＜”号连接。

名师导引 数轴上右边的数总比左边的数大,利用数形结合比较数的大小,更形象、直观。比较几个字母所代表的数的大小时,常用数轴法。
变式训练 有理数$a$,$b$在数轴上的位置如图所示,则下列选项正确的是(D)

A. $a＞b$
B. $|a|＞|b|$
C. $-a＞b$
D. $a＞-b$
(1) -n在原点左侧，与n关于原点对称；|m|在原点右侧，与m关于原点对称。
(2) -n ＜ m ＜ |m| ＜ n。

答案： 例2：
(1) -n在原点左侧，与n关于原点对称；|m|在原点右侧，与m关于原点对称。
(2) -n ＜ m ＜ |m| ＜ n。
变式训练：D