《2025年学习指要七年级数学上册人教版》

例2 甲、乙两站相距324公里.一列慢车从甲站开出,每小时行96公里,一列快车从乙站开出,每小时行120公里.
(1)两车同时开出相向而行,1.5小时后相遇；(2)两车同时开出反向而行,1小时后两车相距540公里；
(3)若两车相向而行,慢车先开出1小时,再经过$\frac{19}{18}$小时两车相遇；(4)两车同时开出同向而行(快车在后面),13.5小时后快车可以追上慢车；(5)两车同时开出相向而行,0.5或2.5小时后两车相距216公里.

答案：
(1)设$x$小时后相遇。
根据题意，得$96x + 120x = 324$
合并同类项得$216x = 324$
解得$x = 1.5$
(2)设$x$小时后两车相距$540$公里。
根据题意，得$96x + 120x + 324 = 540$
合并同类项得$216x + 324 = 540$
移项得$216x = 216$
解得$x = 1$
(3)设再经过$x$小时两车相遇。
根据题意，得$96(x + 1) + 120x = 324$
去括号得$96x + 96 + 120x = 324$
合并同类项得$216x + 96 = 324$
移项得$216x = 228$
解得$x =\frac{228}{216}=\frac{19}{18}$
(4)设$x$小时后快车可以追上慢车。
根据题意，得$120x - 96x = 324$
合并同类项得$24x = 324$
解得$x = 13.5$
(5)设$x$小时后两车相距$216$公里。
根据题意，得$96x + 120x + 216 = 324$或$96x + 120x-216 = 324$
对于方程$96x + 120x + 216 = 324$
合并同类项得$216x + 216 = 324$
移项得$216x = 108$
解得$x = 0.5$
对于方程$96x + 120x-216 = 324$
合并同类项得$216x- 216 = 324$
移项得$216x = 540$
解得$x = 2.5$
综上，答案依次为：
(1)$1.5$；
(2)$1$；
(3)$\frac{19}{18}$；
(4)$13.5$；
(5)$0.5$或$2.5$。

(1)相遇问题：甲走的路程+乙走的路程= 总路程(若行驶时间相同则：速度和×时间= 总路程)；(2)追及问题：追及路程= 速度差×时间,相等关系：①同地不同时出发：前者走的路程= 追者走的路程；②同时不同地出发：前者走的路程+两地距离= 追者走的路程.

答案： 答题卡（本题假设一个典型相遇问题和追及问题示例作答）
（1）相遇问题示例：
设甲、乙两人相向而行，甲的速度为$v_1$，乙的速度为$v_2$，相遇时所用时间为$t$，总路程为$s$。
根据题意，甲走的路程为$v_1t$，乙走的路程为$v_2t$。
由相遇问题的公式，有：
$v_1t + v_2t = s$，
合并同类项，得：
$(v_1 + v_2)t = s$，
若已知$v_1 = 60 m/min$，$v_2 = 40m/min$，$s = 1000m$，
代入上式，得：
$(60 + 40)t = 1000$，
$100t = 1000$，
解得：
$t = 10min$。
（2）追及问题示例：
设甲、乙两人同地不同时出发，甲为追者，速度为$v_1$，乙为被追者，速度为$v_2$，且$v_1 ＞ v_2$，追及时间为$t$，追及路程（即乙先走的路程）为$s_0$。
根据题意，乙走的路程为$v_2t + s_0$（因为乙先走了$s_0$），甲走的路程为$v_1t$。
由追及问题的公式，有：
$v_1t = v_2t + s_0$，
移项，得：
$(v_1 - v_2)t = s_0$，
若已知$v_1 = 80 m/min$，$v_2 = 60 m/min$，$s_0 = 200m$，
代入上式，得：
$(80 - 60)t = 200$，
$20t = 200$，
解得：
$t = 10 min$。

《九章算术》中有一问题,“今有善行者一百步,不善行者六十步,今不善行者先行一百步,善行者追之.问：几何步及之?”其意思是：有一个善于走路的人和一个不善于走路的人.善于走路的人走100步的同时,不善于走路的人只能走60步,现在不善于走路的人先走100步,善于走路的人去追他,需要走250步才能追上他.

答案： 设善行者走$x$步追上不善行者。
因为善行者走100步时，不善行者走60步，所以善行者走$x$步所用时间内，不善行者走$\frac{60}{100}x = 0.6x$步。
不善行者先行100步，追上时两者所走路程相等，可得方程：$x = 100 + 0.6x$。
解方程：$x - 0.6x = 100$，$0.4x = 100$，$x = 250$。
250

例3 (1)慢车车身长125米,车速是每秒17米；快车车身长140米,车速是每秒22米,慢车在前面行驶,快车从追上慢车到完全超过慢车需要多少秒?
(2)两列火车相向而行,甲车车身长220米,车速是每秒10米；乙车车身长300米,车速是每秒16米,两列火车从相遇到错过需要多少秒?
(3)一列火车通过长530米的桥需40秒钟,以同样的速度穿过长380米的山洞需30秒钟.求这列火车的速度和车长.

答案：
(1)设快车从追上慢车到完全超过慢车需要$x$秒。
当快车完全超过慢车时，快车比慢车多行驶的路程为慢车车身长与快车车身长之和，即$125 + 140 = 265$（米）。
快车每秒比慢车多行驶$22 - 17 = 5$（米）。
根据路程差$=$速度差$×$时间，可得方程$(22 - 17)x = 125 + 140$，
即$5x = 265$，
解得$x = 53$。
答：快车从追上慢车到完全超过慢车需要$53$秒。
(2)设两列火车从相遇到错过需要$y$秒。
两列火车相向而行，从相遇到错过，两车行驶的总路程为两车车身长之和，即$220 + 300 = 520$（米）。
两车的速度和为$10 + 16 = 26$（米/秒）。
根据路程和$=$速度和$×$时间，可得方程$(10 + 16)y = 220 + 300$，
即$26y = 520$，
解得$y = 20$。
答：两列火车从相遇到错过需要$20$秒。
(3)设这列火车的长度是$x$米。
火车通过桥行驶的路程为桥长与火车车身长之和，即$(530 + x)$米；火车穿过山洞行驶的路程为山洞长与火车车身长之和，即$(380 + x)$米。
已知火车通过桥需$40$秒钟，穿过山洞需$30$秒钟，根据速度$=$路程$÷$时间，且火车速度不变，可得方程$\frac{530 + x}{40} = \frac{380 + x}{30}$。
去分母得：$3(530 + x) = 4(380 + x)$，
去括号得：$1590 + 3x = 1520 + 4x$，
移项得：$4x - 3x = 1590 - 1520$，
解得：$x = 70$。
火车速度为$\frac{530 + 70}{40} = \frac{600}{40} = 15$（米/秒）。
答：这列火车的速度是$15$米/秒，车长是$70$米。

一列火车匀速行驶,经过一条长800米的隧道,从车头开始进入隧道到车尾离开隧道一共需要50秒的时间,在隧道中央的顶部有一盏灯,垂直向下发光照在火车上的时间是18秒,设该火车的长度为$x$米,根据题意可列一元一次方程为(C)
A.$18x - 800 = 50x$
B.$18x + 800 = 50x$
C.$\frac{800 + x}{50}= \frac{x}{18}$
D.$\frac{800 - x}{50}= \frac{x}{18}$

答案： C