《2025年学习指要七年级数学上册人教版》

5. 已知多项式 $A = 5x^{2}-2xy + y$,$B = - 2x^{2}+xy - 2y + 1$。
(1)求 $2A + 5B$ 的值；
(2)若 $2A + 5B$ 的值与 $y$ 的取值无关,求 $x$ 的值。

答案：
(1)
首先，已知$A = 5x^{2}-2xy + y$，$B = - 2x^{2}+xy - 2y + 1$。
$2A=2(5x^{2}-2xy + y)=10x^{2}-4xy + 2y$；
$5B = 5(-2x^{2}+xy - 2y + 1)=-10x^{2}+5xy-10y + 5$。
则$2A + 5B=(10x^{2}-4xy + 2y)+(-10x^{2}+5xy-10y + 5)$
$=10x^{2}-4xy + 2y-10x^{2}+5xy-10y + 5$
$=(10x^{2}-10x^{2})+(5xy-4xy)+(2y - 10y)+5$
$=xy-8y + 5$
(2)
由
(1)得$2A + 5B=xy-8y + 5=(x - 8)y+5$。
因为$2A + 5B$的值与$y$的取值无关，所以$y$的系数为$0$，即$x - 8 = 0$，解得$x = 8$。
综上，答案为：
(1)$xy - 8y+5$；
(2)$x = 8$。

6. 李明在做一道题：“已知两个多项式 $M$,$N$,其中 $M = x^{2}-3x + 1$,计算 $2M - N$。”他误将“$2M - N$”写成了“$M - 2N$”,结果答案是 $x^{2}-7x + 5$。请帮他求出 $2M - N$ 的正确答案。

答案： $2x^{2}-8x + 4$

7. 已知 $a$,$b$,$c$ 在数轴上对应点的位置如图所示,化简 $2|a + b|-5|b + c|+2|a - b|$。

答案： 由数轴可知$a\lt0\lt b\lt c$，所以$a + b\lt0$，$b + c\gt0$，$a - b\lt0$。
则$2|a + b|-5|b + c|+2|a - b|$
$=2×[-(a + b)]-5×(b + c)+2×[-(a - b)]$
$=-2a - 2b - 5b - 5c - 2a + 2b$
$=-4a - 5b - 5c$

例1 (1) 单项式 $-3^{4}a^{2}b^{5}$ 的系数是$-81$,次数是$7$；
(2) 单项式 $x^{3}y$ 的系数是$1$,次数是$4$.

答案：
(1) $-81$，$7$；
(2) $1$，$4$。

巩固提升 若单项式 $-x^{4}y^{6}$ 与 $3x^{3 - m}y^{6}$ 的和仍是单项式,则 $m = $-1.

答案： -1

例2 已知多项式 $-8x^{3}y^{m} + xy^{2} - 3x^{3} + 6y$ 是六次四项式,单项式 $\frac{3}{2}\pi x^{2}y^{5 - n}$ 的次数与这个多项式的次数相同.
(1) 求 $m,n$ 的值；
(2) 求多项式的各项的系数和.
名师导引 整式概念的重点是“三式”和“四数”,“三式”指单项式、多项式、整式,“四数”指单项式的次数、系数,多项式的次数、系数.

答案：
(1) $m=3$，$n=1$；
(2) $-4$。

巩固提升 若单项式 $3a^{4}b^{n + 2}$ 与 $5a^{m - 1} \cdot b^{2n + 3}$ 是同类项,则 $m + n = $ (C)
A.2
B.3
C.4
D.6

答案： C

例3 一个二次三项式加上它的任意一项,得到一个新的多项式,称为“加系数操作”. 例如：对 $-2x^{2} - x + 1$ 进行“加系数操作”后可以是 $-2x^{2} - x + 1 + (-2x^{2}) = -4x^{2} - x + 1$. 下列说法中正确的个数是 (C)
① 对 $x^{2} + x + 1$ 进行“加系数操作”后的所有多项式的和是 $4x^{2} + 4x + 4$；
② 存在不同的二次三项式,对它们进行“加系数操作”后,其结果相同；
③ 若关于 $x$ 的二次三项式 $ax^{2} + bx + c$ ($a,b,c$ 为常数) 的值不可能为零,则对 $ax^{2} + bx + c$ 进行“加系数操作”后的多项式的值也不可能为零.
A.0
B.1
C.2
D.3

答案： C