《2025年学习指要七年级数学上册人教版》

两个相关联的量,一个量变化,另一个量也随着变化,若这两个量的比值一定,这两个量就叫作成正比例的量,它们之间的关系叫作正比例关系；若这两个量的乘积一定,这两个量就叫作成反比例的量,它们之间的关系叫作反比例关系.

答案： 正比例关系；成反比例；反比例关系

填空 某长方体的体积为 $100\ cm^{3}$,长方体的高为 $h$(单位：$cm$),则底面积 $S$ 为$\dfrac{100}{h}$.

答案： $\dfrac{100}{h}$

例 1 (1)每件 $a$ 元的上衣,涨价 $20\%$ 后的售价是$1.2a$ 元.
(2)已知飞机无风时的飞行速度为 $a\ km/h$,风速为 $20\ km/h$,则飞机顺风飞行 $4$ 小时的行程是$(4a + 80)$ km.

答案：
(1) 每件上衣原价为 $a$ 元，涨价 $20\%$，即涨价 $0.2a$ 元，所以售价为 $a + 0.2a = 1.2a$ 元。
(2) 飞机顺风速度为无风时速度与风速之和，即 $(a + 20)$ km/h，飞行时间为 4 小时，根据路程 = 速度×时间，行程为 $4(a + 20) = 4a + 80$ km。
(1) $1.2a$ 元
(2) $(4a + 80)$ km

变式训练 从甲地到乙地,汽车行驶的速度为 $v\ km/h$,行驶 $30$ 分钟后,汽车行驶的路程为$\frac{1}{2}v$$km$.

答案： 根据路程、速度、时间之间的关系，路程 $s$ 等于速度 $v$ 乘以时间 $t$，即 $s = vt$。
题目中给出时间为 $30$ 分钟，即 $t = \frac{1}{2}$ 小时。
将时间代入公式，得 $s = v × \frac{1}{2} = \frac{1}{2}v$。
故答案为：$\frac{1}{2}v$。

例 2 一艘载满货物的轮船到达目的地后开始卸货,已知船上货物共有 $240$ 吨. 回答下列问题：
(1)平均卸货速度 $y$(吨/时)与卸货时间 $t$(时)这两个量是怎样变化的？它们之间有什么关系？
(2)由于遇到紧急情况,要求船上的货物不超过 $6$ 时卸载完毕,那么平均每时至少要卸货多少吨？
名师导引 如果用字母 $x$ 和 $y$ 表示两个相关的量,用 $k$ 表示它们的积($k$ 是一个确定的值,且 $k\neq0$),反比例关系可以用 $xy = k$ 或 $y= \frac{k}{x}$ 来表示.

答案：
(1)
由题意，货物的总量是 $240$ 吨。
平均卸货速度 $y$（吨/时）与卸货时间 $t$（时）的关系可以由 $y = \frac{240}{t}$ 描述。
因为当卸货时间 $t$ 增加时，平均卸货速度 $y$ 会减小，反之亦然。
所以 $y$ 和 $t$ 是反比例关系。
(2)
要求货物在 $6$ 小时内卸载完毕，即 $t \leq 6$。
由 $y = \frac{240}{t}$，当 $t = 6$ 时，$y$ 取得最小值。
计算得 $y = \frac{240}{6} = 40$。
所以平均每时至少要卸货 $40$ 吨。

变式训练 李华和张亮两人分别从相距 $3600\ m$ 的甲、乙两地同时出发,相向而行,$20$ 分钟后两人相遇,则两人的速度和为180 m/min.

答案： 设李华的速度为 $v_1$ m/min，张亮的速度为 $v_2$ m/min。
根据题意，两人相向而行，20分钟后相遇，所以他们共同走过的距离为 $3600$ m。
因此，有：
$20(v_1 + v_2) = 3600$
$v_1 + v_2 = \frac{3600}{20}$
$v_1 + v_2 = 180$
故两人的速度和为 $180$ m/min。