《2025年新课程能力培养八年级数学上册人教版》

21. (8分)小刚准备用一段长 $ 50\ m $ 的篱笆围成一个三角形状的场地,用于饲养鸡,已知第一条边长为 $ n\ m $,由于条件限制,第二条边长只能比第一条边长的3倍少 $ 2\ m $.
(1)请用含 $ n $ 的式子表示第三条边长.
(2)第一条边长能否为10米？为什么？
(3)求 $ n $ 的取值范围.

答案： 解：（1）
∵第二条边长为（3n - 2）m，
∴第三条边长为50 - n - （3n - 2） = （52 - 4n）m.
（2）当n = 10时，三边长分别为10，28，12，由于10 + 12 ＜ 28，
∴不能构成三角形，即第一条边长不能为10 m.
（3）由题意，可得 $\begin{cases} n+(3n - 2)＞52 - 4n, \\ n+(52 - 4n)＞3n - 2, \\ (3n - 2)+(52 - 4n)＞n \end{cases}$ 解得 $\frac{27}{4}$ ＜ n ＜ 9，则n的取值范围是 $\frac{27}{4}$ ＜ n ＜ 9.

22. (12分)(1)如图1,已知 $ \triangle ABC $ 为直角三角形, $ \angle C = 90° $,若沿图中虚线剪去 $ \angle C $,则 $ \angle 1 + \angle 2 $ 等于270°.
(2)如图2,已知 $ \triangle ABC $ 中, $ \angle A = 40° $,剪去 $ \angle A $ 后成四边形,求 $ \angle 1 + \angle 2 $ 的值.
解：如图2，∵∠1 = ∠A + ∠MNA，∠2 = ∠A + ∠AMN，∴∠1 + ∠2 = ∠A + ∠MNA + ∠AMN + ∠A，∴∠1 + ∠2 = 40° + 180° = 220°.
(3)如图2,请你归纳猜想 $ \angle 1 + \angle 2 $ 与 $ \angle A $ 的关系是∠1 + ∠2 = 180° + ∠A,并说明理由.
理由：∵∠1 = ∠A + ∠MNA，∠2 = ∠A + ∠AMN，∴∠1 + ∠2 = ∠A + ∠MNA + ∠AMN + ∠A，∴∠1 + ∠2 = 180° + ∠A.
(4)如图3,若没有剪掉,而是把它折成如图3形状,试探究 $ \angle 1 + \angle 2 $ 与 $ \angle A $ 的关系并说明理由.
解：∠1 + ∠2与∠A的关系是∠1 + ∠2 = 2∠BAC.理由：连接AA'，∵∠1 = ∠PAA' + ∠PA'A，∠2 = ∠QAA' + ∠QA'A，∴∠1 + ∠2 = ∠PAA' + ∠PA'A + ∠QAA' + ∠QA'A，∴∠1 + ∠2 = ∠BAC + ∠PA'Q = 2∠BAC.

答案： 解：（1）如图1，
∵∠1 = ∠C + ∠DEC，∠2 = ∠C + ∠CDE，
∴∠1 + ∠2 = ∠C + ∠DEC + ∠CDE + ∠C，
∴∠1 + ∠2 = 90° + 180° = 270°.故答案为270°.
（2）如图2，
∵∠1 = ∠A + ∠MNA，∠2 = ∠A + ∠AMN，
∴∠1 + ∠2 = ∠A + ∠MNA + ∠AMN + ∠A，
∴∠1 + ∠2 = 40° + 180° = 220°.
（3）如图2，∠1 + ∠2与∠A的关系是∠1 + ∠2 = 180° + ∠A.理由：
∵∠1 = ∠A + ∠MNA，∠2 = ∠A + ∠AMN，
∴∠1 + ∠2 = ∠A + ∠MNA + ∠AMN + ∠A，
∴∠1 + ∠2 = 180° + ∠A，故答案为∠1 + ∠2 = 180° + ∠A.
（4）如图3，∠1 + ∠2与∠A的关系是∠1 + ∠2 = 2∠BAC.理由：连接AA'，
∵∠1 = ∠PAA' + ∠PA'A，∠2 = ∠QAA' + ∠QA'A，
∴∠1 + ∠2 = ∠PAA' + ∠PA'A + ∠QAA' + ∠QA'A，
∴∠1 + ∠2 = ∠BAC + ∠PA'Q = 2∠BAC.