《2025年新课程能力培养八年级数学上册人教版》

18. (8分) 如图,利用尺规,在$\triangle ABC的边AC上方作\angle CAE = \angle ACB$,在射线$AE上截取AD = BC$,连接$CD$,并证明$\angle EDC = \angle DCB$. (尺规作图要求保留作图痕迹,不写作法)

答案： 证明：如图所示.
∵∠CAE=∠ACB，
∴AE//BC，
∴∠EDC=∠DCB.

19. (8分) 在$Rt\triangle ABC$中,$\angle BAC = 90^{\circ}$,过点$A作AD \perp CB于点D$,延长$DA至点E$,使得$DE = AC$,过点$E作EF // AB$,交$CB的延长线于点F$,连接$CE$.
(1) 求证：$\triangle ACB \cong \triangle DEF$.
(2) 若$\angle FCE = 50^{\circ}$,$\angle CEF = 70^{\circ}$,求$\angle FCA$的度数.

答案： （1）证明：
∵AD⊥CB，∠BAC=90°，
∴∠FDE=90°=∠BAC，
∵EF//AB，
∴∠CBA=∠F，在△ACB 和△DEF 中，∠CBA=∠F，∠BAC=∠FDE，AC=DE，
∴△ACB≌△DEF（AAS）.（2）解：
∵△ACB≌△DEF，
∴∠FCA=∠FED，
∵∠FCE=50°，∠CEF=70°，
∴∠F=180° - 50° - 70°=60°，
∵∠FDE=90°，
∴∠FED=180° - 90° - 60°=30°，
∴∠FCA=30°.

20. (9分) 如图,在$\triangle ABC和\triangle DEF$中,$\angle A = \angle D$,点$B$,$F$,$C$,$E$在同一直线上,有如下三个关系式：①$AB // DE$；②$BF = EC$；③$AC = DF$.
(1) 请用其中两个关系式作为条件,另一个作为结论,写出你认为正确的所有命题(用序号写出命题的书写形式：“如果…,那么…”).
(2) 选择(1)中你写出的一个命题,说明它正确的理由.

答案： 解：（1）如果①②，那么③；如果①③，那么②.（2）若选择如果①②，那么③. 理由如下：
∵AB//DE，
∴∠B=∠E；
∵BF=EC，
∴BF + FC=EC + FC，即 BC=EF. 在△ABC 和△DEF 中，∠A=∠D，∠B=∠E，BC=EF，
∴△ABC≌△DEF（AAS），
∴AC=DF.若选择如果①③，那么②. 理由如下：
∵AB//DE，∠A=∠D，
∴∠B=∠E. 在△ABC 和△DEF 中，∠B=∠E，AC=DF，
∴△ABC≌△DEF（AAS），
∴BC=EF，
∴BC - FC=EF - FC，即 BF=EC.