《2025年新课程能力培养八年级数学上册人教版》

21. (10分) 如图，已知点 $ O $ 是 $ \angle APB $ 内的一点，$ M $，$ N $ 分别是点 $ O $ 关于 $ PA $，$ PB $ 的对称点，连接 $ MN $，与 $ PA $，$ PB $ 分别相交于点 $ E $，$ F $，已知 $ MN = 6\ cm $.
(1) 求 $ \triangle OEF $ 的周长.
(2) 连接 $ PM $，$ PN $，若 $ \angle APB = \alpha $，求 $ \angle MPN $. (用含 $ \alpha $ 的代数式表示)
(3) 当 $ \angle \alpha = 30^{\circ} $ 时，判定 $ \triangle PMN $ 的形状，并说明理由.

答案：
（1）
∵M，N分别是点O关于PA，PB的对称点，
∴EM=EO，FN=FO，
∴△OEF的周长=OE+OF+EF=ME+EF+FN=MN=6cm.
（2）连接OP，
∵M，N分别是点O关于PA，PB的对称点，
∴∠MPA=∠OPA，∠NPB=∠OPB，
∴∠MPN=2∠APB=2α.
（3）当∠α=30°时，△PMN是等边三角形.理由：
∵∠α=30°，
∴∠MPN=60°.
∵M，N分别是点O关于PA，PB的对称点，
∴PM=PO，PN=PO，
∴PM=PN，
∴△PMN是等边三角形.

22. (12分) 如图，$ \triangle ABC $ 为等边三角形，点 $ P $ 是线段 $ AC $ 上一动点 (点 $ P $ 不与 $ A $，$ C $ 重合)，连接 $ BP $，过点 $ A $ 作直线 $ BP $ 的垂线段，垂足为点 $ D $，以 $ AD $ 为边向右作等边三角形 $ ADE $.
(1) 求证：$ BD = CE $.
(2) 延长 $ ED $ 交 $ BC $ 于点 $ F $.
①求 $ \angle CED $ 的度数；
②求证：$ F $ 为 $ BC $ 的中点.

答案： （1）证明：
∵△ADE是等边三角形，
∴AD=AE，∠DAE=60°.
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC，∠BAC=60°.
∴∠BAC=∠DAE，
∴∠BAD=∠CAE.在△BAD和△CAE中，$\left\{\begin{array}{l} AB=AC,\\ ∠BAD=∠CAE,\\ AD=AE,\end{array}\right. $
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴BD=CE.
（2）①解：如图，过点C作CG//BP交DF的延长线于点G，
∴∠G=∠BDF.
∵∠ADE=60°，∠ADB=90°，
∴∠BDF=30°，
∴∠G=30°.由（1）可知，BD=CE，∠CEA=∠BDA，
∵AD⊥BP，
∴∠BDA=90°.
∴∠CEA=90°.
∵∠AED=60°，
∴∠CED=∠G=30°.
②证明：
∵∠CED=∠G，
∴CE=CG，
∴BD=CG.在△BDF和△CGF中，$\left\{\begin{array}{l} ∠BDF=∠G,\\ ∠BFD=∠CFG,\\ BD=CG,\end{array}\right. $
∴△BDF≌△CGF（AAS），
∴BF=FC，即F为BC的中点.