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20. (8分)在甲、乙两公司全体员工捐款活动中,甲公司共捐款100000元,乙公司共捐款140000元.下面是甲、乙两公司员工的一段对话：
(1)甲、乙两公司各有多少人？
(2)现甲、乙两公司共同使用这笔捐款购买A,B两种物资,A种物资每箱15000元,B种物资每箱12000元.若购买B种物资不少于10箱,并恰好将捐款用完,有几种购买方案？请设计出来.(注：A,B两种物资均需购买,并按整箱配送)
(1)甲、乙两公司各有多少人？
(2)现甲、乙两公司共同使用这笔捐款购买A,B两种物资,A种物资每箱15000元,B种物资每箱12000元.若购买B种物资不少于10箱,并恰好将捐款用完,有几种购买方案？请设计出来.(注：A,B两种物资均需购买,并按整箱配送)
答案：
解：（1）设甲公司有x人，则乙公司有（x+20）人，根据题意得$\frac{100000}{x}\cdot \frac{7}{6}=\frac{140000}{x+20}$，解得$x=100$，检验，当$x=100$时，$6x(x+20)\neq 0$，
∴$x=100$是原方程的解，且符合题意，
∴$x+20=120$.答：甲公司有100人，乙公司有120人.（2）设购买A种物资m箱，购买B种物资n箱，且$n\geqslant 10$，m，n都是正整数，根据题意得，$15000m+12000n=100000+140000$，$5m=80-4n$，$m=16-\frac{4}{5}n$，①当$n=10$时，$m=8$符合题意；②当$n=15$时，$m=4$符合题意；③当$n=20$时，$m=0$不符合题意，综上所述，购买方案有两种：一种是A物资买8箱，B物资买10箱；另一种是A物资买4箱，B物资买15箱.
∴$x=100$是原方程的解，且符合题意，
∴$x+20=120$.答：甲公司有100人，乙公司有120人.（2）设购买A种物资m箱，购买B种物资n箱，且$n\geqslant 10$，m，n都是正整数，根据题意得，$15000m+12000n=100000+140000$，$5m=80-4n$，$m=16-\frac{4}{5}n$，①当$n=10$时，$m=8$符合题意；②当$n=15$时，$m=4$符合题意；③当$n=20$时，$m=0$不符合题意，综上所述，购买方案有两种：一种是A物资买8箱，B物资买10箱；另一种是A物资买4箱，B物资买15箱.
21. (8分)观察下列等式：
$\frac{1}{1×2}= 1-\frac{1}{2}$；
$\frac{1}{2×3}= \frac{1}{2}-\frac{1}{3}$；
$\frac{1}{3×4}= \frac{1}{3}-\frac{1}{4}$；
…
(1)猜想并写出：$\frac{1}{n(n + 1)}=$
(2)根据以上规律计算：$\frac{1}{a(a + 1)}+\frac{1}{(a + 1)(a + 2)}+…+\frac{1}{(a + 2022)(a + 2023)}$.
$\frac{1}{1×2}= 1-\frac{1}{2}$；
$\frac{1}{2×3}= \frac{1}{2}-\frac{1}{3}$；
$\frac{1}{3×4}= \frac{1}{3}-\frac{1}{4}$；
…
(1)猜想并写出：$\frac{1}{n(n + 1)}=$
$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$
.(2)根据以上规律计算：$\frac{1}{a(a + 1)}+\frac{1}{(a + 1)(a + 2)}+…+\frac{1}{(a + 2022)(a + 2023)}$.
$\frac{2023}{a^{2}+2023a}$
答案：
（1）$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$ （2）$\frac{2023}{a^{2}+2023a}$
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