《2025年新课程能力培养八年级数学上册人教版》

21. （10分）【阅读材料】因式分解：$x^2 + 4xy + 4y^2 - 16$.
解：$\because x^2 + 4xy + 4y^2 = (x + 2y)^2$，$\therefore$将$x + 2y$看成整体，令$x + 2y = M$，则原式$= M^2 - 16 = (M + 4)(M - 4)$，将$M$还原，则原式$= (x + 2y + 4)(x + 2y - 4)$.上述解题过程用到的是“整体思想”，请用“整体思想”解决以下问题.
【数学理解】（1）因式分解：$(a - 2b)^2 - 6(a - 2b) + 9$.
【拓展探索】（2）证明：无论$a$，$b$取何值时，$(a^2b^2 - 4a)(a^2b^2 - 4a - 2) + 1$的值一定是非负数.

答案： （1）令$a - 2b = M$，则原式$=M^{2}-6M + 9=(M - 3)^{2}$，将$M$还原，则原式$=(a - 2b - 3)^{2}$．
（2）证明：令$a^{2}b^{2}-4a = M$，则原式$=M(M - 2)+1=M^{2}-2M + 1=(M - 1)^{2}$，将$M$还原，则原式$=(a^{2}b^{2}-4a - 1)^{2}\geq0$，$\therefore$无论$a$，$b$取何值时，$(a^{2}b^{2}-4a)(a^{2}b^{2}-4a - 2)+1$的值一定是非负数．

22. （10分）在学习整式乘法时，小明定义：若一个整数能表示成$a^2 + b^2$（$a$，$b$是整数）的形式，则称这个数为“妙数”.例如：10是“妙数”，因为$10 = 3^2 + 1^2$；再如：$M = x^2 + 2x + 2 = (x + 1)^2 + 1^2$（$x$是整数），所以$M$也是“妙数”.
（1）判断20是否为“妙数”：是（填“是”或“否”）
（2）已知$M = x^2 + 4xy + 8y^2 - 12y + 8 + k$（$x$，$y$是整数），$k$是常数，要使$M$为“妙数”，试求出符合条件的一个$k$值，并说明理由.
（2）$k = 1$，理由如下：$M=x^{2}+4xy + 8y^{2}-12y + 8 + k=(x^{2}+4xy + 4y^{2})+(4y^{2}-12y + 8 + k)=(x + 2y)^{2}+(4y^{2}-12y + 8 + k)$，$\because$要使$M$为“妙数”，$4y^{2}-12y + 8 + k$必须是完全平方式，$\therefore 8 + k = 9$，解得$k = 1$．

答案： （1）是
（2）$k = 1$，理由如下：$M=x^{2}+4xy + 8y^{2}-12y + 8 + k=(x^{2}+4xy + 4y^{2})+(4y^{2}-12y + 8 + k)=(x + 2y)^{2}+(4y^{2}-12y + 8 + k)$，$\because$要使$M$为“妙数”，$4y^{2}-12y + 8 + k$必须是完全平方式，$\therefore 8 + k = 9$，解得$k = 1$．