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22. (12分)阅读下面的解题过程：
已知$\frac{x}{x^{2} + 1}= \frac{1}{3}$,求$\frac{x^{2}}{x^{4} + 1}$的值.
解：由$\frac{x}{x^{2} + 1}= \frac{1}{3}$,可知$x\neq0$.
$\therefore\frac{x^{2} + 1}{x}= 3$,即$x+\frac{1}{x}= 3$,①
$\therefore\frac{x^{4} + 1}{x^{2}}= x^{2}+\frac{1}{x^{2}}= (x+\frac{1}{x})^{2}-2= 3^{2}-2= 7$.②
故$\frac{x^{2}}{x^{4} + 1}的值为\frac{1}{7}$.
(1)第②步$x^{2}+\frac{1}{x^{2}}= (x+\frac{1}{x})^{2}-2$运用了公式：
(2)上题的解法叫作“倒数法”,请你利用“倒数法”解决下面的问题：
已知：$\frac{x}{x^{2} - 3x + 1}= -\frac{1}{4}$,求$\frac{x^{2}}{x^{4} + 7x^{2} + 1}$的值.
(3)已知：$\frac{ab}{a + b}= \frac{1}{2024}$,$\frac{bc}{b + c}= -\frac{1}{2025}$,$\frac{ac}{a + c}= \frac{1}{2026}$,求$\frac{abc}{ab + bc + ac}$的值.
已知$\frac{x}{x^{2} + 1}= \frac{1}{3}$,求$\frac{x^{2}}{x^{4} + 1}$的值.
解：由$\frac{x}{x^{2} + 1}= \frac{1}{3}$,可知$x\neq0$.
$\therefore\frac{x^{2} + 1}{x}= 3$,即$x+\frac{1}{x}= 3$,①
$\therefore\frac{x^{4} + 1}{x^{2}}= x^{2}+\frac{1}{x^{2}}= (x+\frac{1}{x})^{2}-2= 3^{2}-2= 7$.②
故$\frac{x^{2}}{x^{4} + 1}的值为\frac{1}{7}$.
(1)第②步$x^{2}+\frac{1}{x^{2}}= (x+\frac{1}{x})^{2}-2$运用了公式：
$(a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}$
.(要求：用含$a$,$b$的式子表示)(2)上题的解法叫作“倒数法”,请你利用“倒数法”解决下面的问题：
已知：$\frac{x}{x^{2} - 3x + 1}= -\frac{1}{4}$,求$\frac{x^{2}}{x^{4} + 7x^{2} + 1}$的值.
(3)已知：$\frac{ab}{a + b}= \frac{1}{2024}$,$\frac{bc}{b + c}= -\frac{1}{2025}$,$\frac{ac}{a + c}= \frac{1}{2026}$,求$\frac{abc}{ab + bc + ac}$的值.
答案：
解：（1）
∵$(a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}$，
∴$a^{2}+b^{2}=(a+b)^{2}-2ab$，
∴第②步$x^{2}+\frac{1}{x^{2}}=(x+\frac{1}{x})^{2}-2$，故答案为$(a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}$.（2）
∵$\frac{x}{x^{2}-3x+1}=-\frac{1}{4}$，
∴$x\neq 0$，
∴$\frac{x^{2}-3x+1}{x}=-4$，
∴$x-3+\frac{1}{x}=-4$，即$x+\frac{1}{x}=-1$，
∴$\frac{x^{4}+7x^{2}+1}{x^{2}}=x^{2}+7+\frac{1}{x^{2}}=(x+\frac{1}{x})^{2}-2+7=(-1)^{2}-2+7=6$，
∴$\frac{x^{2}}{x^{4}+7x^{2}+1}=\frac{1}{6}$.（3）
∵$\frac{ab}{a+b}=\frac{1}{2024}$，
∴$\frac{a+b}{ab}=2024$，即$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=2024$，同理可得$\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=-2025$，$\frac{1}{a}+\frac{1}{c}=2026$，
∴$\frac{1}{a}=\frac{6075}{2}$，$\frac{1}{b}=-\frac{2027}{2}$，$\frac{1}{c}=-\frac{2023}{2}$，
∴$\frac{ab+bc+ca}{abc}=\frac{1}{c}+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{2025}{2}$，
∴$\frac{abc}{ab+bc+ac}=\frac{2}{2025}$.
∵$(a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}$，
∴$a^{2}+b^{2}=(a+b)^{2}-2ab$，
∴第②步$x^{2}+\frac{1}{x^{2}}=(x+\frac{1}{x})^{2}-2$，故答案为$(a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}$.（2）
∵$\frac{x}{x^{2}-3x+1}=-\frac{1}{4}$，
∴$x\neq 0$，
∴$\frac{x^{2}-3x+1}{x}=-4$，
∴$x-3+\frac{1}{x}=-4$，即$x+\frac{1}{x}=-1$，
∴$\frac{x^{4}+7x^{2}+1}{x^{2}}=x^{2}+7+\frac{1}{x^{2}}=(x+\frac{1}{x})^{2}-2+7=(-1)^{2}-2+7=6$，
∴$\frac{x^{2}}{x^{4}+7x^{2}+1}=\frac{1}{6}$.（3）
∵$\frac{ab}{a+b}=\frac{1}{2024}$，
∴$\frac{a+b}{ab}=2024$，即$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=2024$，同理可得$\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=-2025$，$\frac{1}{a}+\frac{1}{c}=2026$，
∴$\frac{1}{a}=\frac{6075}{2}$，$\frac{1}{b}=-\frac{2027}{2}$，$\frac{1}{c}=-\frac{2023}{2}$，
∴$\frac{ab+bc+ca}{abc}=\frac{1}{c}+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{2025}{2}$，
∴$\frac{abc}{ab+bc+ac}=\frac{2}{2025}$.
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