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23. (12 分)基本知识：通过用两种不同方法计算图 1 的面积,发现：$(a + b)^{2} = a^{2} + 2ab + b^{2}$恒成立. 基于此,请解答下列问题：
(1)直接应用：若 $ab = 4$,$a + b = 5$,直接写出 $a^{2} + b^{2}$ 的值为
(2)类比应用：若 $a(3 - a) = 2$,则 $a^{2} + (3 - a)^{2} = $
(3)拓展迁移：为落实国家劳动实践教育的政策,使同学们体验劳动的快乐,掌握劳动技能,某学校计划组织八年级的学生在学校实践园开展劳动实践活动. 首先在实践园用栅栏围成一个 $\triangle ABC$ 区域,用来种植草坪(如图 2),其中 $AC⊥AB$ 于点 $A$,$AC$ 与 $AB$ 两边的长度和为 30 m,然后再以 $AC$,$AB$ 为边分别向外扩建成正方形 $ACDE$ 和正方形 $ABFG$ 的用地,分别种植三角梅和月季花,向外扩建的两个正方形面积和为 $500$ $m^{2}$. 请根据题意求种植草坪的 $\triangle ABC$ 的面积.
(1)直接应用：若 $ab = 4$,$a + b = 5$,直接写出 $a^{2} + b^{2}$ 的值为
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.(2)类比应用：若 $a(3 - a) = 2$,则 $a^{2} + (3 - a)^{2} = $
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.(3)拓展迁移：为落实国家劳动实践教育的政策,使同学们体验劳动的快乐,掌握劳动技能,某学校计划组织八年级的学生在学校实践园开展劳动实践活动. 首先在实践园用栅栏围成一个 $\triangle ABC$ 区域,用来种植草坪(如图 2),其中 $AC⊥AB$ 于点 $A$,$AC$ 与 $AB$ 两边的长度和为 30 m,然后再以 $AC$,$AB$ 为边分别向外扩建成正方形 $ACDE$ 和正方形 $ABFG$ 的用地,分别种植三角梅和月季花,向外扩建的两个正方形面积和为 $500$ $m^{2}$. 请根据题意求种植草坪的 $\triangle ABC$ 的面积.
设$AC=a$，$AB=b$，由题意得，$a+b=AC+AB=30\ cm$，$a^{2}+b^{2}=500\ cm^{2}$，$\therefore S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}AC\cdot AB=\frac{1}{2}ab=\frac{1}{2}×\frac{1}{2}[(a+b)^{2}-(a^{2}+b^{2})]=\frac{1}{4}×(900-500)=100$.
答案：
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（2）5
（3）设$AC=a$，$AB=b$，由题意得，$a+b=AC+AB=30\ cm$，$a^{2}+b^{2}=500\ cm^{2}$，$\therefore S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}AC\cdot AB=\frac{1}{2}ab=\frac{1}{2}×\frac{1}{2}[(a+b)^{2}-(a^{2}+b^{2})]=\frac{1}{4}×(900-500)=100$.
（2）5
（3）设$AC=a$，$AB=b$，由题意得，$a+b=AC+AB=30\ cm$，$a^{2}+b^{2}=500\ cm^{2}$，$\therefore S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}AC\cdot AB=\frac{1}{2}ab=\frac{1}{2}×\frac{1}{2}[(a+b)^{2}-(a^{2}+b^{2})]=\frac{1}{4}×(900-500)=100$.
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