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23. (12分) 数学活动：折纸中的数学
【知识背景】
如图是对角平分线的探究，将纸片折叠使 $ QP $ 与 $ QR $ 重合，$ QM $ 是折痕，此时 $ \angle PQM $ 与 $ \angle RQM $ 重合，所以 $ \angle PQM = \angle RQM $，射线 $ QM $ 是 $ \angle PQR $ 的平分线.
【知识初探】
(1) 如图1，点 $ P $，$ Q $ 分别是长方形纸片 $ ABCD $ 的对边 $ AB $，$ CD $ 上的点，连接 $ PQ $，将 $ \angle APQ $ 和 $ \angle BPQ $ 分别对折，使点 $ A $，$ B $ 分别落在 $ PQ $ 上的 $ A' $ 和 $ B' $ 处、点 $ C $ 落在 $ C' $ 处，分别得折痕 $ PN $，$ PM $，则 $ \angle NPM $ 的度数是
【类比再探】
(2) 如图2，将长方形纸片 $ ABCD $ 分别沿直线 $ PN $，$ PM $ 折叠，使点 $ A $，$ B $ 分别落在点 $ A' $，$ B' $ 处，$ PA' $ 和 $ PB' $ 不在同一条直线上，且被折叠的两部分没有重叠部分.
①若 $ \angle A'PB' = 20^{\circ} $，$ \angle APN = 30^{\circ} $，求 $ \angle NPM $ 的度数；
②若 $ \angle A'PB' = \alpha (0^{\circ} \leq \alpha \lt 180^{\circ}) $，求 $ \angle NPM $ 的度数 (用含 $ \alpha $ 的式子表示).
【拓展探究】
(3) 将长方形纸片 $ ABCD $ 分别沿直线 $ PN $，$ PM $ 折叠，使点 $ A $，$ B $，$ C $ 分别落在点 $ A' $，$ B' $，$ C' $ 处，$ PA' $ 和 $ PB' $ 不在同一条直线上，且被折叠的两部分有重叠部分，如图3，若 $ \angle A'PB' = \alpha (0^{\circ} \leq \alpha \leq 60^{\circ}) $，请直接写出 $ \angle NPM $ 的度数 (用含 $ \alpha $ 的式子表示).
【知识背景】
如图是对角平分线的探究，将纸片折叠使 $ QP $ 与 $ QR $ 重合，$ QM $ 是折痕，此时 $ \angle PQM $ 与 $ \angle RQM $ 重合，所以 $ \angle PQM = \angle RQM $，射线 $ QM $ 是 $ \angle PQR $ 的平分线.
【知识初探】
(1) 如图1，点 $ P $，$ Q $ 分别是长方形纸片 $ ABCD $ 的对边 $ AB $，$ CD $ 上的点，连接 $ PQ $，将 $ \angle APQ $ 和 $ \angle BPQ $ 分别对折，使点 $ A $，$ B $ 分别落在 $ PQ $ 上的 $ A' $ 和 $ B' $ 处、点 $ C $ 落在 $ C' $ 处，分别得折痕 $ PN $，$ PM $，则 $ \angle NPM $ 的度数是
90°
.【类比再探】
(2) 如图2，将长方形纸片 $ ABCD $ 分别沿直线 $ PN $，$ PM $ 折叠，使点 $ A $，$ B $ 分别落在点 $ A' $，$ B' $ 处，$ PA' $ 和 $ PB' $ 不在同一条直线上，且被折叠的两部分没有重叠部分.
①若 $ \angle A'PB' = 20^{\circ} $，$ \angle APN = 30^{\circ} $，求 $ \angle NPM $ 的度数；
②若 $ \angle A'PB' = \alpha (0^{\circ} \leq \alpha \lt 180^{\circ}) $，求 $ \angle NPM $ 的度数 (用含 $ \alpha $ 的式子表示).
【拓展探究】
(3) 将长方形纸片 $ ABCD $ 分别沿直线 $ PN $，$ PM $ 折叠，使点 $ A $，$ B $，$ C $ 分别落在点 $ A' $，$ B' $，$ C' $ 处，$ PA' $ 和 $ PB' $ 不在同一条直线上，且被折叠的两部分有重叠部分，如图3，若 $ \angle A'PB' = \alpha (0^{\circ} \leq \alpha \leq 60^{\circ}) $，请直接写出 $ \angle NPM $ 的度数 (用含 $ \alpha $ 的式子表示).
(2)①100°；②90°+$\frac{α}{2}$；(3)90°-$\frac{α}{2}$
答案：
（1）90°.
（2）①100°.
②90°+$\frac{α}{2}$.
（3）90°-$\frac{α}{2}$.
（2）①100°.
②90°+$\frac{α}{2}$.
（3）90°-$\frac{α}{2}$.
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