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19. (8分) 如图，在 $ \triangle ABC $ 中，$ AC = BC $，$ D $ 是 $ AB $ 上一点，$ DE \perp BC $ 于点 $ E $，$ EF \perp AC $ 于点 $ F $.
(1) 若 $ D $ 是 $ AB $ 的中点，求证：$ \angle BDE = \frac{1}{2}\angle C $.
(2) 若 $ \angle ADE = 160^{\circ} $，求 $ \angle DEF $ 的度数.
(1) 若 $ D $ 是 $ AB $ 的中点，求证：$ \angle BDE = \frac{1}{2}\angle C $.
(2) 若 $ \angle ADE = 160^{\circ} $，求 $ \angle DEF $ 的度数.
答案：
（1）证明：连接CD，
∵AC=BC，D是AB的中点，
∴CD⊥AB，∠ACD=∠BCD=$\frac{1}{2}$∠ACB，
∴∠BCD+∠B=90°.
∵DE⊥BC，
∴∠B+∠BDE=90°.
∴∠BCD=∠BDE.
∴∠BDE=$\frac{1}{2}$∠ACB.
（2）解：
∵∠ADE=160°，
∴∠BDE=20°.
∵DE⊥BC，EF⊥AC，
∴∠DEB=∠AFE=90°.在Rt△BDE中，∠DEB=90°，
∴∠B=90°-∠BDE=90°-20°=70°.
∵AC=BC，
∴∠B=∠A=70°，
∴∠DEF=360°-∠A-∠ADE-∠AFE=360°-70°-160°-90°=40°.
（1）证明：连接CD，
∵AC=BC，D是AB的中点，
∴CD⊥AB，∠ACD=∠BCD=$\frac{1}{2}$∠ACB，
∴∠BCD+∠B=90°.
∵DE⊥BC，
∴∠B+∠BDE=90°.
∴∠BCD=∠BDE.
∴∠BDE=$\frac{1}{2}$∠ACB.
（2）解：
∵∠ADE=160°，
∴∠BDE=20°.
∵DE⊥BC，EF⊥AC，
∴∠DEB=∠AFE=90°.在Rt△BDE中，∠DEB=90°，
∴∠B=90°-∠BDE=90°-20°=70°.
∵AC=BC，
∴∠B=∠A=70°，
∴∠DEF=360°-∠A-∠ADE-∠AFE=360°-70°-160°-90°=40°.
20. (9分) 在等腰 $ \triangle ABC $ 中，三边长分别是 $ a $，$ b $，$ c $，并且满足 $ a^2 - 8a + 16 + |b - 2| = 0 $，求 $ \triangle ABC $ 的周长.
答案：
解：
∵$a^{2}-8a+16+|b-2|=0$，
∴$(a-4)^{2}+|b-2|=0$.
∵$(a-4)^{2}\geq0$，$|b-2|\geq0$，
∴a-4=0，b-2=0，
∴a=4，b=2.
∵等腰△ABC三边长分别是a，b，c，
∴有以下两种情况：①当a=4为底边时，b，c为腰，此时b=c=2，
∵b+c=4=a，
∴a，b，c不能构成三角形，
∴此种情况不存在.②当b=2为底边时，a，c为腰，此时a=c=4，
∵b+c=6＞a，
∴a，b，c能构成三角形，
∴△ABC的周长为a+b+c=4+2+4=10.
∵$a^{2}-8a+16+|b-2|=0$，
∴$(a-4)^{2}+|b-2|=0$.
∵$(a-4)^{2}\geq0$，$|b-2|\geq0$，
∴a-4=0，b-2=0，
∴a=4，b=2.
∵等腰△ABC三边长分别是a，b，c，
∴有以下两种情况：①当a=4为底边时，b，c为腰，此时b=c=2，
∵b+c=4=a，
∴a，b，c不能构成三角形，
∴此种情况不存在.②当b=2为底边时，a，c为腰，此时a=c=4，
∵b+c=6＞a，
∴a，b，c能构成三角形，
∴△ABC的周长为a+b+c=4+2+4=10.
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