《2025年能力素养与学力提升九年级数学上册人教版》

2. 如图，在平面直角坐标系中，四边形 $ABCD$ 是菱形，点 $B$ 的坐标是 $(0,4)$，点 $D$ 的坐标是 $(8\sqrt{3},4)$，$P$ 和 $Q$ 是两个动点，其中点 $P$ 从点 $B$ 出发，沿 $BA$ 以每秒 $2$ 个单位长度的速度做匀速运动，到点 $A$ 后停止，同时点 $Q$ 从点 $B$ 出发，沿折线 $BC \to CD$ 以每秒 $4$ 个单位长度的速度做匀速运动，如果其中一点停止运动，则另一点也停止运动. 设 $P$，$Q$ 的运动时间为 $x$，$\triangle BPQ$ 的面积为 $y$，下列图象中能表示 $y$ 与 $x$ 的函数关系的图象大致是(A)

答案： A

3. 如图①是一张矩形纸片，按以下步骤进行操作：
（Ⅰ）将矩形纸片沿 $DF$ 折叠，使点 $A$ 落在边 $CD$ 上点 $E$ 处，如图②；
（Ⅱ）在第一次折叠的基础上，过点 $C$ 再次折叠，使得点 $B$ 落在边 $CD$ 上点 $B'$ 处，如图③，两次折痕交于点 $O$；
（Ⅲ）展开纸片，分别连接 $OB$，$OE$，$OC$，$FD$，如图④.
【探究】
（1）求证：$\triangle OBC \cong \triangle OED$；
（2）若 $AB = 8$，设 $BC$ 为 $x$，$OB^2$ 为 $y$，求 $y$ 关于 $x$ 的关系式.
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答案：

证明：$(1) $由折叠可知，$ A D=E D ，$　　

$∠B C O=∠D C O=∠A D O=∠C D O=45°，$　　

∴$B C=D E，$$ ∠C O D=90°，$$ O C=O D，$　　

在$ \triangle {OBC} $和$ \triangle {OED} $中，　　

$\begin{cases}O C=O D \\∠O C B=∠O D E \\B C=D E\end{cases}.$　　

∴$\triangle {OBC} ≌ \triangle {OED} (SAS) .$　　

$(2)$由$ (1) \triangle O B C ≌ \triangle O E D ，$$O E=O B，$　　

∵$B C=x，$　　

则$ A D=D E=x，$　　

∴$C E=8-x，$　　

∵$O C=O D，$$ ∠C O D=90°，$　　

∴$C H=\frac{1}{2} C D=\frac{1}{2} A B=\frac{1}{2} ×8=4，$　　

$O H=\frac{1}{2} C D=4，$　　

∴${EH}={CH}-{CE}=4-(8-{x})={x}-4.$　　

在$Rt \triangle O H E $中，　　

由勾股定理得$ {OE}^{2}={OH}^{2}+{EH}^{2} ，$　　

即$OB ^{2}=4^{2}+(x-4)^{2} ，$　　

∴$y $关于$ x $的关系式：$ y=x^{2}-8 x+32 .$