《2025年能力素养与学力提升九年级数学上册人教版》

6. 已知函数 $ y = ax^{2}-2ax - 1 $($ a $ 是常数，$ a\neq0 $)，下列结论正确的是(D)

A.当 $ a = 1 $ 时，函数图象过点 $ (-1,1) $
B.当 $ a = -2 $ 时，函数图象与 $ x $ 轴没有交点
C.若 $ a＞0 $，则当 $ x\geqslant1 $ 时，$ y $ 随 $ x $ 的增大而减小
D.若 $ a＜0 $，则当 $ x\leqslant1 $ 时，$ y $ 随 $ x $ 的增大而增大

答案： D

7. 二次函数 $ y = ax^{2}+bx + c(a\neq0) $ 和正比例函数 $ y=\frac{2}{3}x $ 的图象如图所示，则方程 $ ax^{2}+(b-\frac{2}{3})x + c = 0(a\neq0) $ 的两根之和(A)

A.大于0
B.等于0
C.小于0
D.不能确定

答案： A

8. 二次函数 $ y = ax^{2}+bx + c(a\neq0) $ 的图象如图所示，根据图象解答下列问题：
写出方程 $ ax^{2}+bx + c = 0 $ 的两个根；
写出不等式 $ ax^{2}+bx + c＜0 $ 的解集；
若方程 $ ax^{2}+bx + c = k $ 有两个不相等的实数根，求 $ k $ 的取值范围.

答案：
$(1)x_{1}=1,x_{2}=3 $　　
$(2)x＜1$或$x＞3 $　　
$(3)$$ $由图象可知，二次函数$ y=a x^{2}+b x+c=k $有两个不相等的实数根，　　
$k $必须小于$ y=a x^{2}+b x+c(a \neq 0) $的最大值，　　
∴$ k<2 .$　　

9. 在平面直角坐标系 $ xOy $ 中，已知抛物线 $ y = x^{2}+bx + c $ 经过 $ (-1,m^{2}+2m + 1) $，$ (0,m^{2}+2m + 2) $ 两点，其中 $ m $ 为常数.
求 $ b $ 的值，并用含 $ m $ 的代数式表示 $ c $；
当抛物线 $ y = x^{2}+bx + c $ 与 $ x $ 轴有公共点时，求 $ m $ 的值；
设 $ (a,y_{1}) $，$ (a + 2,y_{2}) $ 是抛物线 $ y = x^{2}+bx + c $ 上的两点，试比较 $ y_{2}-y_{1} $ 与0的大小.

答案：
(1)把$(-1,m^{2}+2m+1)$,$(0,m^{2}+2m+2)$分别代入$y=x^{2}+bx+c$,得$1-b+c=m^{2}+2m+1$①,$c=m^{2}+2m+2$②,把②代入①中得$b=2$,$\therefore b=2$,$c=m^{2}+2m+2$.
(2)由
(1),得$y=x^{2}+2x+m^{2}+2m+2$.根据题意,得$\Delta=2^{2}-4(m^{2}+2m+2)\geq0$,$\therefore (m+1)^{2}\leq0$.又$(m+1)^{2}\geq0$,$\therefore m=-1$,$\therefore$当抛物线$y=x^{2}+bx+c$与$x$轴有公共点时,$m=-1$.
(3)由
(1),得函数的解析式为$y=x^{2}+2x+m^{2}+2m+2$,$\because (a,y_{1})$,$(a+2,y_{2})$是抛物线$y=x^{2}+bx+c$上的两点,$\therefore y_{1}=a^{2}+2a+m^{2}+2m+2$,$y_{2}=(a+2)^{2}+2(a+2)+m^{2}+2m+2$,$\therefore y_{2}-y_{1}=4(a+2)$,$\therefore$当$a＜-2$时,$y_{2}-y_{1}＜0$;当$a=-2$时,$y_{2}-y_{1}=0$;当$a＞-2$时,$y_{2}-y_{1}＞0$.