《2025年能力素养与学力提升九年级数学上册人教版》

6. 如图，$\triangle ABC$的三个顶点都在$\odot O$上，$AB = AC$，$P$是$\overset{\frown}{AB}$的中点，连接$PA$，$PB$，$PC$，$\angle BPC = 60^{\circ}$. 求证：$AC = \sqrt{3}AP$.

答案： 证明：
∵$\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{BC}$，
∴∠BAC=∠BPC=60°. 又AB=AC，
∴△ABC为等边三角形.
∴∠ACB=60°.
∵P是$\overset{\frown}{AB}$的中点，
∴∠ACP=$\frac{1}{2}$∠ACB=30°.
∵$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{AC}$，
∴∠APC=∠ABC=60°.
∴∠PAC=90°. 在Rt△PAC中，∠ACP=30°，
∴AC=$\sqrt{3}AP$.

1. 如图，点$A$，$B$，$C$在$\odot O$上，若$BC = 6$，$\angle BAC = 30^{\circ}$，则$\odot O$的半径为6.

答案： 6

2. 如图，$AC$是$\odot O$的弦，$AC = 5$，$B$是$\odot O$上的一个动点，且$\angle ABC = 45^{\circ}$，若$M$，$N$分别是$AC$，$BC$的中点，则$MN$的最大值是$\frac{5\sqrt{2}}{2}$.

答案： $\frac{5\sqrt{2}}{2}$

3. 如图，将$\odot O$沿弦$AB$折叠，圆弧恰好经过圆心$O$，$P$是优弧$\overset{\frown}{AMB}$上一点，则$\angle APB$的度数为(D)

A.$45^{\circ}$
B.$30^{\circ}$
C.$75^{\circ}$
D.$60^{\circ}$

答案： D

4. 如图，$AB$是$\odot O$的直径，$AB = 8$，点$M$在$\odot O$上，$\angle MAB = 20^{\circ}$，$N$是弧$MB$的中点，$P$是直径$AB$上的一动点，若$MN = 1$，则$\triangle PMN$周长的最小值为(B)

A.4
B.5
C.6
D.7

答案： B