《2025年能力素养与学力提升九年级数学上册人教版》

8. 如图，二次函数 $ y = (x + 2)^2 + m $ 的图象与 $ y $ 轴交于点 $ C $，点 $ B $ 在抛物线上，且与点 $ C $ 关于抛物线的对称轴对称. 已知一次函数 $ y = kx + b $ 的图象经过该二次函数图象上的点 $ A(-1,0) $ 及点 $ B $.
(1) 求二次函数与一次函数的解析式；
(2) 根据图象，写出满足 $ (x + 2)^2 + m \geq kx + b $ 的 $ x $ 的取值范围.

答案： 8. （1）$\because$抛物线过点$A(-1,0)$,$\therefore (-1+2)^{2}+m=0$,解得$m=-1$.$\therefore$二次函数的解析式为$y=(x+2)^{2}-1=x^{2}+4x+3$,$\therefore C(0,3)$,对称轴为直线$x=-2$,$\therefore B(-4,3)$.设一次函数的解析式为$y=kx+b$,$\because$点A,B在直线上,$\therefore \left\{\begin{array}{l} -4k+b=3,\\ -k+b=0,\end{array}\right. $解得$\left\{\begin{array}{l} k=-1,\\ b=-1,\end{array}\right. $$\therefore$一次函数的解析式为$y=-x-1$. （2）由图象,得当$x\leqslant -4$或$x\geqslant -1$时,二次函数的图象在一次函数图象的上方,此时$(x+2)^{2}+m\geqslant kx+b$,$\therefore$该不等式中的x的取值范围是$x\leqslant -4$或$x\geqslant -1$.

9. 一次函数 $ y = kx + 4 $ 与二次函数 $ y = ax^2 + c $ 的图象的一个交点坐标为 $ (1,2) $，另一个交点是该二次函数图象的顶点.
(1) 求 $ k $，$ a $，$ c $ 的值；
(2) 过点 $ A(0,m)(0 ＜ m ＜ 4) $ 且垂直于 $ y $ 轴的直线与二次函数 $ y = ax^2 + c $ 的图象交于 $ B $，$ C $ 两点，点 $ O $ 为坐标原点，记 $ W = OA^2 + BC^2 $，求 $ W $ 关于 $ m $ 的函数解析式，并求 $ W $ 的最小值.

答案： 9. （1）$k=-2,a=-2,c=4$ （2）$W=OA^{2}+BC^{2}=m^{2}-2m+8=(m-1)^{2}+7(0＜m＜4)$.当$m=1$时,W有最小值,最小值为7.