《2025年能力素养与学力提升九年级数学上册人教版》

8. 如图，二次函数 $ y = ax^2 + bx + c $ ($ a \neq 0 $) 的图象与 $ x $ 轴交于 $ A $，$ B $ 两点，其中 $ A(-1, 0) $，$ C(0, 5) $，$ D(1, 8) $ 在抛物线上，$ M $ 为抛物线的顶点。
(1) 求抛物线的解析式；
(2) 求 $ \triangle MCB $ 的面积。

答案：
(1)设抛物线的解析式为$y=ax^{2}+bx+c(a≠0)$,根据题意,得$\left\{\begin{array}{l} a-b+c=0,\\ c=5,\\ a+b+c=8,\end{array}\right. $解得$\left\{\begin{array}{l} a=-1,\\ b=4,\\ c=5.\end{array}\right. $
∴抛物线的解析式为$y=-x^{2}+4x+5$.
(2)
∵点C的坐标为$(0,5)$,
∴$OC=5$.令$y=0$,得$-x^{2}+4x+5=0$,解得$x_{1}=-1,x_{2}=5$,
∴点B的坐标为$(5,0)$,
∴$OB=5$.
∵$y=-x^{2}+4x+5=-(x-2)^{2}+9$,
∴顶点M的坐标为$(2,9)$.过点M作$MN⊥AB$于点N,则$ON=2,MN=9$,
∴$S_{△MCB}=S_{梯形OCMN}+S_{△BMN}-S_{△OBC}=\frac{1}{2}×(5+9)×2+\frac{1}{2}×9×(5-2)-\frac{1}{2}×5×5=15$.

9. 如图，对称轴为直线 $ x = -1 $ 的抛物线 $ y = ax^2 + bx + c $ ($ a \neq 0 $) 与 $ x $ 轴相交于 $ A $，$ B $ 两点，其中点 $ A $ 的坐标为 $(-3, 0)$。
(1) 求点 $ B $ 的坐标；
(2) 已知 $ a = 1 $，$ C $ 为抛物线与 $ y $ 轴的交点。
① 若点 $ P $ 在抛物线上，且 $ S_{\triangle POC} = 4S_{\triangle BOC} $，求点 $ P $ 的坐标；
② 设点 $ Q $ 是线段 $ AC $ 上的动点，作 $ QD \perp x $ 轴，交抛物线于点 $ D $，求线段 $ QD $ 长度的最大值。

答案：
(1)
∵点$A(-3,0)$与点B关于直线$x=-1$对称,
∴点B的坐标为$(1,0)$.
(2)
∵$a=1$,
∴$y=x^{2}+bx+c$.
∵抛物线过点$A(-3,0)$,且对称轴为直线$x=-1$,
∴$\left\{\begin{array}{l} 0=9-3b+c,\\ -\frac{b}{2}=-1,\end{array}\right. $解得$\left\{\begin{array}{l} b=2,\\ c=-3.\end{array}\right. $
∴$y=x^{2}+2x-3$,且点C的坐标为$(0,-3)$. ① 设点P的坐标为$(x,y)$.根据题意,得$S_{△BOC}=\frac{1}{2}×1×3=\frac{3}{2}$,
∴$S_{△POC}=4S_{△BOC}=6$.当$x＞0$时,有$\frac{1}{2}×3×x=6$,
∴$x=4$.
∴$y=4^{2}+2×4-3=21$.当$x＜0$时,有$\frac{1}{2}×3×(-x)=6$,
∴$x=-4$.
∴$y=(-4)^{2}+2×(-4)-3=5$.
∴点P的坐标为$(4,21)$或$(-4,5)$. ② 设直线AC的解析式为$y=mx+n$.
∵直线AC过A,C两点,
∴$\left\{\begin{array}{l} -3m+n=0,\\ n=-3,\end{array}\right. $解得$\left\{\begin{array}{l} m=-1,\\ n=-3.\end{array}\right. $
∴$y=-x-3$.设点Q的坐标为$(p,q)$,
∵点Q在线段AC上,
∴$-3≤p≤0$.
∴$QD=-p-3-(p^{2}+2p-3)=-p^{2}-3p=-(p+\frac{3}{2})^{2}+\frac{9}{4}$.
∵$-3＜-\frac{3}{2}＜0$,
∴当$p=-\frac{3}{2}$时,QD有最大值$\frac{9}{4}$.
∴线段QD长度的最大值为$\frac{9}{4}$.