《2025年智趣暑假作业云南科技出版社八年级数学华师大版》

3. 如图,$DE// BC$,$AC= BC$,$AE= EC$,延长DE到点F,使$EF= DE$,连接AF,FC,CD,则图中四边形ADCF是矩形.

答案： 矩形

1. 如图,矩形ABCD的对角线AC和BD相交于点O,$CE// BD$,交AB的延长线于点E. 求证：$AC= EC$.

答案：
∵四边形ABCD是矩形，
∴BE$//$CD，AC=BD，又
∵CE$//$BD，
∴四边形BECD是平行四边形，
∴BD=CE，
∴AC=EC。

2. 如图,已知E是$□ ABCD$中BC边的中点,连接AE并延长AE交DC的延长线于点F.
(1)求证：$\triangle ABE\cong\triangle FCE$；
(2)连接AC,BF,若$\angle AEC= 2\angle ABC$,求证：四边形ABFC为矩形.

答案： （1）
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB$//$DF，
∴∠ABC=∠BCF，∠BAE=∠EFC，
∵E为BC的中点，
∴BE=CE，又
∵∠AEB=∠FEC，
∴△ABE≌△FCE；（2）
∵△ABE≌△FCE，
∴AB=CF，
∵AB$//$CF，
∴四边形ABFC是平行四边形，
∴AE=EF，BE=CE，
∵∠AEC=2∠ABC=∠ABC+∠BAE，
∴∠ABC=∠BAE，
∴AE=BE，
∴AF=BC，
∴四边形ABFC为矩形。