《2025年智趣暑假作业云南科技出版社八年级数学华师大版》

1. 如图所示,矩形ABCD的两条对角线相交于点O,$\angle AOD= 60^{\circ}$,$AD= 2$,则AC的长是(B)
A.2
B.4
C.$2\sqrt{3}$
D.$4\sqrt{3}$

答案： 1. 首先，根据矩形的性质：
矩形的对角线相等且互相平分，即$AC = BD$，$OA=\frac{1}{2}AC$，$OD=\frac{1}{2}BD$，所以$OA = OD$。
2. 然后，已知$\angle AOD = 60^{\circ}$：
因为$OA = OD$且$\angle AOD = 60^{\circ}$，根据等边三角形的判定定理（有一个角是$60^{\circ}$的等腰三角形是等边三角形），可得$\triangle AOD$是等边三角形。
所以$OA=OD = AD$。
3. 最后，求$AC$的长：
已知$AD = 2$，则$OA=AD = 2$。
又因为$AC = 2OA$（矩形对角线互相平分），所以$AC=2×2 = 4$。
综上，答案是B。

2. 如图所示,在矩形ABCD中,点O是BC的中点,$\angle AOD= 90^{\circ}$,矩形ABCD的周长为20cm,则AB的长为(A)
A.$\frac{10}{3}cm$
B.2cm
C.$\frac{5}{2}cm$
D.1cm

答案： A

3. 如图所示,四边形ABCD的对角线AC,BD交于点O. 下列条件中,可判定四边形ABCD为矩形的是(C)
A.$AC= BD$
B.$\triangle AOB$是等边三角形
C.$AO= CO= BO= DO$
D.$\angle ABC+\angle BCD+\angle CDA+\angle DAB= 360^{\circ}$

答案： C

1. 如图,在矩形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,$\angle AOB= 60^{\circ}$,AE平分$\angle BAD$,AE交BC于点E,则$\angle BOE$的度数是$75^{\circ}$.

答案： 1. 首先，根据矩形的性质：
因为四边形$ABCD$是矩形，所以$OA = OB$，$\angle BAD=\angle ABC = 90^{\circ}$，$AD// BC$。
又因为$\angle AOB = 60^{\circ}$，所以$\triangle AOB$是等边三角形。
则$OB = AB$，$\angle ABO = 60^{\circ}$，所以$\angle OBE=\angle ABC-\angle ABO=90^{\circ}-60^{\circ}=30^{\circ}$。
2. 然后，根据角平分线的性质：
因为$AE$平分$\angle BAD$，$\angle BAD = 90^{\circ}$，所以$\angle BAE=\angle EAD = 45^{\circ}$。
由于$AD// BC$，所以$\angle BEA=\angle EAD = 45^{\circ}$。
在$\triangle ABE$中，$\angle ABC = 90^{\circ}$，$\angle BEA=\angle BAE = 45^{\circ}$，所以$AB = BE$。
3. 最后，根据等腰三角形的性质求$\angle BOE$：
因为$OB = AB$，$AB = BE$，所以$OB = BE$。
在$\triangle BOE$中，根据等腰三角形的性质$\angle BOE=\frac{1}{2}(180^{\circ}-\angle OBE)$。
把$\angle OBE = 30^{\circ}$代入可得$\angle BOE=\frac{1}{2}(180 - 30)^{\circ}=75^{\circ}$。
故答案为：$75^{\circ}$。

2. 如图,将矩形纸片ABCD沿EF折叠,使D点与BC边的中点$D'$重合,若$BC= 8$,$CD= 6$,则$CF= $$\frac{5}{3}$.

答案： $\frac{5}{3}$