《2025年一本初中数学应用题》

8.(2024·山东济南)近年来光伏建筑一体化广受关注.某社区拟修建 A,B 两种光伏车棚.已知修建 2 个 A 种光伏车棚和 1 个 B 种光伏车棚共需投资 8 万元,修建 5 个 A 种光伏车棚和3 个 B 种光伏车棚共需投资 21 万元.
(1)求修建 1 个 A 种光伏车棚和 1 个 B 种光伏车棚分别需投资多少万元.
(2)若修建 A,B 两种光伏车棚共 20 个,要求修建的 A 种光伏车棚的数量不少于修建的 B 种光伏车棚数量的 2 倍.问:当修建多少个 A 种光伏车棚时,可使投资总额最少? 投资总额最少为多少万元?

答案：
(1)设修建1个A种光伏车棚需投资$x$万元,修建1个B种光伏车棚需投资$y$万元.由题意,得$\begin{cases} 2x+y=8,\\ 5x+3y=21,\\ \end{cases}$解得$\begin{cases} x=3,\\ y=2.\\ \end{cases}$答:修建1个A种光伏车棚需投资3万元,修建1个B种光伏车棚需投资2万元.
(2)设修建$m$个A种光伏车棚,则修建$(20-m)$个B种光伏车棚,投资总额为$w$万元.由题意,得$m \geqslant 2(20-m)$,解得$m \geqslant \dfrac{40}{3}$.$w=3m+2(20-m)=m+40$.$\because m ＞ 0$,$\therefore w$随$m$的增大而增大.$\because m \geqslant \dfrac{40}{3}$,且$m$为正整数,$\therefore$当$m=14$时,$w$取得最小值,最小值为$14+40=54$.答:当修建14个A种光伏车棚时,投资总额最少,投资总额最少为54万元.

9.某班开展植树活动,需购买甲、乙两种树苗.已知购买 25 棵甲种树苗和 10 棵乙种树苗共需1250 元;购买 15 棵甲种树苗和 5 棵乙种树苗共需 700 元.
(1)求甲、乙两种树苗的单价；
(2)该班决定用不超过 1600 元的费用购买甲、乙两种树苗共 40 棵,其中乙种树苗的数量不少于甲种树苗数量的$\frac {1}{3}$,求购买的甲种树苗数量的取值范围.

答案：
(1)设甲种树苗的单价为$x$元,乙种树苗的单价为$y$元.由题意,得$\begin{cases} 25x+10y=1250,\\ 15x+5y=700,\\ \end{cases}$解得$\begin{cases} x=30,\\ y=50.\\ \end{cases}$答:甲种树苗的单价为30元,乙种树苗的单价为50元.
(2)设购买的甲种树苗的数量为$a$,则购买的乙种树苗的数量为$40-a$.由题意,得$\begin{cases} 30a+50(40-a) \leqslant 1600,\\ 40-a \geqslant \dfrac{1}{3}a,\\ \end{cases}$解得$20 \leqslant a \leqslant 30$.答:购买的甲种树苗数量的取值范围为$20 \leqslant a \leqslant 30$.

10.某公司需要运输一批疫苗到市疾控中心,据调查得知,租用 2 辆 A 型冷链运输车与 3 辆B 型冷链运输车一次可以运输 600 盒疫苗；租用 5 辆 A 型冷链运输车与 6 辆 B 型冷链运输车一次可以运输 1350 盒疫苗.
(1)求每辆 A 型冷链运输车和每辆 B 型冷链运输车一次各可以运输多少盒疫苗.
(2)该公司计划租用这两种冷链运输车共12 辆,且每辆 A 型冷链运输车的租金为5000 元,每辆 B 型冷链运输车的租金为3000 元.若运输的疫苗不少于 1500 盒,且租车的总费用不超过 54000 元,则共有哪几种运输方案?

答案：
(1)设每辆A型冷链运输车一次可以运输$x$盒疫苗,每辆B型冷链运输车一次可以运输$y$盒疫苗.由题意,得$\begin{cases} 2x+3y=600,\\ 5x+6y=1350,\\ \end{cases}$解得$\begin{cases} x=150,\\ y=100.\\ \end{cases}$答:每辆A型冷链运输车一次可以运输150盒疫苗,每辆B型冷链运输车一次可以运输100盒疫苗.
(2)设租用A型冷链运输车$m$辆,则租用B型冷链运输车$(12-m)$辆.由题意,得$\begin{cases} 150m+100(12-m) \geqslant 1500,\\ 5000m+3000(12-m) \leqslant 54000,\\ \end{cases}$解得$6 \leqslant m \leqslant 9$.$\because m$为正整数,$\therefore m$的值可以为6,7,8,9,$\therefore$共有4种运输方案:方案1:租用6辆A型冷链运输车,6辆B型冷链运输车;方案2:租用7辆A型冷链运输车,5辆B型冷链运输车;方案3:租用8辆A型冷链运输车,4辆B型冷链运输车;方案4:租用9辆A型冷链运输车,3辆B型冷链运输车.