《2025年一本初中数学应用题》

1.(2024·江苏无锡)《九章算术》中有一道“凫雁相逢”问题(凫:野鸭),其大意是:野鸭从南海飞到北海需要7天,大雁从北海飞到南海需要9天.如果野鸭、大雁分别从南海、北海同时起飞,那么两者经过多少天相遇?设经过x天相遇,则下列方程正确的是( )

A.$\frac{1}{7}x+\frac{1}{9}x= 1$
B.$\frac{1}{7}x-\frac{1}{9}x= 1$
C.$9x+7x= 1$
D.$9x-7x= 1$

答案： A

2.甲、乙两名运动员在长为100 m的直道AB(A,B为直道两端点)上进行匀速往返跑训练,两人同时从A点起跑,到达B点后,立即转身跑向A点,到达A点后,又立即转身跑向B点……若甲的速度为5 m/s,乙的速度为4 m/s,则起跑后100 s内,两人相遇的次数为( )

A.5
B.4
C.3
D.2

答案： B【解析】设两人相遇的次数为x.甲、乙两人每次相遇的时间间隔为$(100×2)÷(5+4)=\frac {200}{9}(s).$由题意,得$\frac {200}{9}x=100$,解得$x=4.5.$
∵x为整数,
∴x取4.

3.甲、乙两人在一条路上分别从A,B两地同时出发,相向而行,甲骑自行车,乙开小汽车,出发后经过3 h两人相遇.已知乙比甲每小时多行驶30 km,且相遇后经过1 h乙到达A地,则甲行驶的速度为______km/h.

答案： 15【解析】设甲行驶的速度为x km/h,则乙行驶的速度为$(x+30)km/h.$由题意,得$3(x+x+30)=4(x+30),$解得$x=15$,
∴甲行驶的速度为15 km/h.

4.甲、乙两人分别从A,B两地同时出发,匀速前进,相向而行,在距离A地700 m处第一次相遇,然后继续前进.当甲到达B地、乙到达A地后都立即返回,第二次相遇在距离B地400 m处,则A,B两地之间的距离是______m.

答案： 1 700【解析】设A,B两地之间的距离是x m.由题意,得$x+400=3×700,$解得$x=1700,$即A,B两地之间的距离是1 700 m.【注意】第一次相遇时,甲、乙两人共走了一个全程,其中甲走了700 m;第二次相遇时,甲、乙两人共走了三个全程,其中甲走了$700×3=2100(m)$.又因为甲走了一个全程加上400 m,故等量关系为一个全程$+400=2100.$

5.某校组织七年级学生步行到郊外旅行,七年级(1)班的学生组成前队,速度为4 km/h,七年级(2)班的学生组成后队,速度为6 km/h.已知前队出发1 h后,后队才出发,同时后队派出一名联络员骑自行车在两队之间不断地来回进行联络,联络员骑自行车的速度为12 km/h(队伍长度忽略不计).
(1)后队出发后多长时间可以追上前队?
(2)当后队刚好追上前队时,联络员共骑行了多少千米?
(3)从联络员出发到他第一次追上前队的过程中,联络员何时与前队的距离和与后队的距离相等?

答案： 解:
(1)设后队出发后x h可以追上前队.由题意,得6x=4(x+1),解得x=2,
∴后队出发后2 h可以追上前队.
(2)当后队刚好追上前队时,联络员骑行的时间等于后队刚好追上前队所用的时间,
∴联络员共骑行了12×2=24(km).
(3)设联络员出发t h时与前队的距离和与后队的距离相等.由题意,得12t-6t=4(t+1)-12t,解得$t=\frac {2}{7},$
∴联络员出发$\frac {2}{7}h$时与前队的距离和与后队的距离相等.

6.已知甲、乙两地相距900 km,一辆快车从甲地出发匀速开往乙地,速度为120 km/h.快车开出30 min后,一辆慢车从乙地出发匀速开往甲地,速度为90 km/h.快车到达乙地后停止行驶.根据题意解答下列问题:
(1)当快车与慢车相遇时,求慢车行驶的时间;
(2)当两车之间的距离为315 km时,求快车行驶的路程.

答案： 解:
(1)当快车与慢车相遇时,设慢车行驶的时间为x h.$30min=\frac {1}{2}h.$由题意,得$120(x+\frac {1}{2})+90x=900$,解得$x=4.$答:当快车与慢车相遇时,慢车行驶的时间为4 h.
(2)当两车之间的距离为315 km时,设慢车行驶的时间为y h.①若两车相遇前相距315 km,则$120(y+\frac {1}{2})+90y=900-315$,解得$y=2.5,$
∴快车行驶的路程为$120×(2.5+\frac {1}{2})=360(km);$②若两车相遇后相距315 km,则$120(y+\frac {1}{2})+90y=900+315$,解得$y=5.5,$
∴快车行驶的路程为$120×(5.5+\frac {1}{2})=720(km);$③当快车到达乙地时,快车行驶了7.5 h,慢车行驶了7 h,$7×90=630＞315$,此种情况不存在.综上所述,当两车之间的距离为315 km时,快车行驶的路程为360 km或720 km.