《2025年超越训练八年级数学上册人教版四川专版》

25. （10分）某汽车销售公司经销某品牌$A$款汽车，随着汽车的更新换代，其价格也在不断下降.今年5月份$A$款汽车的售价比去年同期每辆降价1万元，如果卖出相同数量的$A$款汽车，去年销售额为100万元，今年销售额只有90万元.
（1）今年5月份每辆$A$款汽车的售价是多少万元？
（2）为了增加收入，汽车销售公司决定再经销同品牌的$B$款汽车.已知每辆$A$款汽车的进价为7.5万元，每辆$B$款汽车的进价为6万元，公司预计用不超过105万元且不低于99万元的资金购进这两款汽车共15辆，共有多少种进货方案？
（3）如果每辆$B$款汽车的售价为8万元，为打开$B$款汽车的销路，公司决定每售出一辆$B$款汽车，返还顾客现金$a$万元.要使（2）中所有方案获利相同，$a$的值应是多少？此时，哪种方案对公司更有利？

答案： （1）设今年5月份每辆A款汽车的售价是$x$万元，则去年同期每辆售价为$(x+1)$万元。
由题意得：$\frac{100}{x+1}=\frac{90}{x}$
解得：$100x=90(x+1)$
$100x=90x+90$
$10x=90$
$x=9$
经检验，$x=9$是原方程的解，且符合题意。
答：今年5月份每辆A款汽车的售价是9万元。
（2）设购进A款汽车$m$辆，则购进B款汽车$(15-m)$辆。
由题意得：
$\begin{cases}7.5m + 6(15 - m) \geq 99 \\ 7.5m + 6(15 - m) \leq 105\end{cases}$
化简得：
$\begin{cases}1.5m + 90 \geq 99 \\ 1.5m + 90 \leq 105\end{cases}$
$\begin{cases}1.5m \geq 9 \\ 1.5m \leq 15\end{cases}$
$\begin{cases}m \geq 6 \\ m \leq 10\end{cases}$
$∵m$为整数，$∴m=6,7,8,9,10$，共5种方案。
答：共有5种进货方案。
（3）设总获利为$W$万元，A款每辆利润$9 - 7.5 = 1.5$万元，B款每辆利润$(8 - a - 6) = (2 - a)$万元。
$W = 1.5m + (2 - a)(15 - m)$
$=1.5m + 30 - 2m - 15a + am$
$=(a - 0.5)m + (30 - 15a)$
$∵$所有方案获利相同，$∴a - 0.5 = 0$，解得$a=0.5$。
此时$W=30 - 15×0.5=22.5$（万元），与$m$无关。
为打开B款销路，应多购进B款，当$m=6$时，B款$15 - 6=9$辆（数量最多）。
答：$a$的值是0.5，此时购进A款6辆、B款9辆的方案对公司更有利。