《2025年超越训练八年级数学上册人教版四川专版》

9. 化简$(\frac{1}{x - 3} - \frac{x + 1}{x^{2} - 1})\cdot(x - 3)$的结果是()

A.2
B.$\frac{2}{x - 1}$
C.$\frac{2}{x - 3}$
D.$\frac{x - 4}{x - 1}$

答案： B

10. 对于两个非零的实数$a$，$b$，规定$a*b = \frac{3}{b} - \frac{2}{a}$.若$5*(3x - 1) = 2$，则$x$的值为()

A.$\frac{5}{6}$
B.$\frac{3}{4}$
C.$\frac{2}{3}$
D.$-\frac{1}{6}$

答案： B

11. 已知$\frac{1}{a} - \frac{1}{b} = \frac{4}{a - b}$，则$\frac{b}{a} + \frac{a}{b}$的值是()

A.$-4$
B.4
C.$-2$
D.2

答案： C

12. 若关于$x$的分式方程$\frac{2x + 1}{x^{2} + x} = \frac{m}{6x + 6}$无解，则$m$的值为()

A.6
B.12
C.6或0
D.6或12

答案： D

13. 当$x = $时，分式$\frac{2x^{2} - 8}{x - 2}$的值为零；当时，分式$\frac{x - 2}{x^{2}}$的值为负数.

答案： $-2$；$x\lt2$且$x\neq0$

14. 若$\frac{|a| - 2}{(a - 3)^{0}} = 1$，则$a$的值为.

答案： $-3$（根据题目要求，此处应填写数值，若为选择题则根据选项填写对应字母）

15. 已知关于$x$的分式方程$\frac{x}{1 - x} - 2 = \frac{k}{x - 1}$的解是负数，则$k$的取值范围是.

答案： $k ＞ 2$

16. 已知$(\frac{1}{4})^{-a} = 16$，$\frac{1}{4^{b}} = 64$，则$4^{2a - b}$的值是.

答案： 16384

17. 已知$\frac{1}{4}m^{2} + \frac{1}{4}n^{2} = n - m - 2$，则$\frac{1}{m} - \frac{1}{n}$的值为.

答案： $-1$（由于题目要求填空，故直接给出数值答案）

18. 如图，把“$◯$”按照一定规律摆放，记图①中“$◯$”的个数为$a_{1}$，图②中“$◯$”的个数为$a_{2}$，图③中“$◯$”的个数为$a_{3}$，……以此类推，则$\frac{1}{a_{1}} + \frac{1}{a_{2}} + \frac{1}{a_{3}} + \cdots + \frac{1}{a_{n}}$($n$为正整数)=(用含$n$的代数式表示).
……

答案： 【解析】：观察图形规律，得：$a_1=2=1×2$，$a_2=6=2×3$，$a_3=12=3×4$，$a_4=20=4×5$，...，故$a_n=n(n+1)$。则$\frac{1}{a_n}=\frac{1}{n(n+1)}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$。所以$\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+\cdots+\frac{1}{a_n}=(1-\frac{1}{2})+(\frac{1}{2}-\frac{1}{3})+\cdots+(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1})=1-\frac{1}{n+1}=\frac{n}{n+1}$。
【答案】：$\frac{n}{n+1}$