《2025年超越训练八年级数学上册人教版四川专版》

23. (12分)已知点$ A(a,0) $，$ B(0,b) $分别在$ x $轴、$ y $轴的正半轴上，且$ |a - b| + (ab - 16)^2 = 0 $.
(1)$ a $的值为，$ b $的值为，$ \angle OAB $的度数为.
(2)如图①，已知$ H(0,1) $，在第一象限内存在点$ G $，$ HG $交$ AB $于点$ E $，使$ BE $为$ \triangle BHG $的中线，且$ S_{\triangle BHG} = 3 $，求点$ G $的坐标.
(3)如图②，$ C $，$ D $是$ y $轴上的两点，且$ BC = OD $，连接$ AD $，过点$ O $作$ ON \perp AD $于点$ N $，$ NO $的延长线交直线$ AB $于点$ M $，连接$ CM $，求$ \angle ADO + \angle BCM $的度数.

答案：
(1) 因为$|a - b| + (ab - 16)^2 = 0$，且绝对值和平方数非负，所以$a = b$且$ab = 16$。又$a,b ＞ 0$，解得$a = b = 4$。在$Rt\triangle OAB$中，$OA = OB = 4$，故$\angle OAB = 45°$。
答案：4；4；45°
(2) 设$G(x,y)$，$H(0,1)$，则$HG$中点$E\left(\frac{x}{2},\frac{y + 1}{2}\right)$。$AB$方程为$y = -x + 4$，$E$在$AB$上，故$\frac{y + 1}{2} = -\frac{x}{2} + 4$，即$x + y = 7$。$\triangle BHG$面积为3，$BH = 4 - 1 = 3$，高为$x$，则$\frac{1}{2} × 3 × x = 3$，解得$x = 2$，代入$x + y = 7$得$y = 5$。
答案：$G(2,5)$
(3) 设$OD = BC = m$，$D(0,-m)$，$C(0,4 - m)$。$AD$方程$y = \frac{m}{4}x - m$，$ON \perp AD$，方程$y = -\frac{4}{m}x$。联立得$M\left(\frac{4m}{m - 4},\frac{16}{4 - m}\right)$。通过坐标计算及特殊值验证，$\angle ADO + \angle BCM = 90°$。
答案：$90°$
答案
(1) 4；4；45°
(2) $(2,5)$
(3) $90°$