《2025年综合应用创新题典中点七年级数学上册人教版》

9. 小明用一个边长为 $ 3 cm $、$ 4 cm $ 和 $ 5 cm $ 的直角三角形,绕其中一条边所在直线旋转一周,得到了一个几何体.
(1)请画出可能得到的几何体简图；
(2)分别计算出这些几何体的体积.(锥体体积 $ = \dfrac{1}{3} × $ 底面积 $ × $ 高)

答案：
【解】
(1)以4 cm边所在直线为轴，所得几何体简图如图①，以3 cm边所在直线为轴，所得几何体简图如图②，以5 cm边所在直线为轴，所得几何体简图如图③.

(2)图①的体积为$\frac{1}{3}×π×3²×4=12π(cm³)$，
图②的体积为$\frac{1}{3}×π×4²×3=16π(cm³)$，
图③的体积为$\frac{1}{3}×π×(\frac{12}{5})²×5=9.6π(cm³)$.

10. 新趋势·跨学科综合 阅读与思考
下面是小轩同学的数学学习笔记,请仔细阅读并完成相应任务.
多面体欧拉公式
欧拉是著名的数学家,他发现不论什么形状的凸多面体,其顶点数 $ (V) $、面数 $ (F) $、棱数 $ (E) $ 之间存在的一个固定的关系式,被称为多面体欧拉公式.

表格列出上面图中四个多面体的顶点数 $ (V) $、面数 $ (F) $、棱数 $ (E) $.
| 多面体编号 | 顶点数 $ (V) $ | 面数 $ (F) $ | 棱数 $ (E) $ |
| :---: | :---: | :---: | :---: |
| $ 1 $ | $ 4 $ | $ 4 $ | $ 6 $ |
| $ 2 $ | $ 8 $ | $ 6 $ | $ 12 $ |
| $ 3 $ | $ 6 $ | $ 8 $ | $ 12 $ |
| $ 4 $ | $ 9 $ | $ 8 $ | |
任务：
(1)表格空白处填______,顶点数 $ (V) $、面数 $ (F) $ 和棱数 $ (E) $ 之间存在的关系式是______.
(2)某个简单的多面体,是由三角形和八边形两种多边形拼接而成,每个顶点处都有 $ 3 $ 条棱,共有棱 $ 33 $ 条. 若该多面体三角形的个数比八边形的个数的 $ 2 $ 倍少 $ 2 $,求该多面体三角形的个数.
(3)小轩同学尝试切去正方体一块后(用平面截取),得不到有 $ 7 $ 条棱的多面体. 如果能切出有 $ 7 $ 条棱的多面体,最少需切去几块,如果不能切出有 $ 7 $ 条棱的多面体,请说明理由.
(4)如图,$ C_{60} $ 是由 $ 60 $ 个 $ C $ 原子构成的分子,它的结构为简单多面体形状. 这个多面体有 $ 60 $ 个顶点,以每个顶点为一端点都有三条棱,面的形状只有五边形和六边形. 按照 $ C_{60} $ 结构,数学家构造出顶点数为 $ n $ 的多面体,称为“$ C_{n} $”多面体,探究发现,当“$ C_{n} $”多面体的面数增多时,“$ C_{n} $”多面体的六边形面数也会增多,你能解释其中的道理吗？

答案： 【解】
(1)15；V+F-E=2
(2)设八边形的个数x个，则三角形的个数为(2x-2)个，
因为每个顶点处都有3条棱，共有棱33条，一条棱有两个顶点，所以$\frac{3V}{2}=33=E$，所以V=22，
所以F=E+2-V=33+2-22=13，
所以x+(2x-2)=13，解得x=5，
所以2x-2=2×5-2=8，
所以该多面体三角形的个数为8个.
(3)不能切出有7条棱的多面体.理由如下：
因为V+F-E=2，若E=7，则V+F=9.
因为V≥4，F≥4，且V，F，E都是正整数，
当V=4时，F=5，不存在这样的多面体；
当V=5时，F=4，不存在这样的多面体；
所以不能切出有7条棱的多面体.
(4)设顶点数为n，
因为每个顶点处都有3条棱，一条棱有两个顶点，所以$V=n$，$E=\frac{3n}{2}$，
所以$F=E-V+2=\frac{3n}{2}-n+2=\frac{n}{2}+2$.
设六边形的个数为a个，则五边形的个数为$(\frac{n}{2}+2-a)$个，
所以$6a+5(\frac{n}{2}+2-a)=2×\frac{3n}{2}$，解得$a=\frac{n}{2}-10$，因为$\frac{n}{2}-10$随着n的增大而增大，所以当多面体的面数增多时，六边形的面数也会增多.