《2025年新课程暑假作业广西师范大学出版社八年级数学》

12. 已知$y=\sqrt {x-3}+\sqrt {3-x}+4$，求$(x-y)^{2025}$的值.

答案： 【解析】：要使根式$\sqrt{x - 3}$和$\sqrt{3 - x}$有意义，则被开方数须大于等于$0$，即$x - 3\geq0$且$3 - x\geq0$。由$x - 3\geq0$可得$x\geq3$，由$3 - x\geq0$可得$x\leq3$，所以$x = 3$。把$x = 3$代入$y=\sqrt {x - 3}+\sqrt {3 - x}+4$，可得$y=\sqrt{3 - 3}+\sqrt{3 - 3}+4 = 4$。将$x = 3$，$y = 4$代入$(x - y)^{2025}$，则$(x - y)^{2025}=(3 - 4)^{2025}=(-1)^{2025}=-1$。
【答案】：$-1$

13. 定义：若两个二次根式$a$，$b$满足$a\cdot b=c$，且$c$是有理数，则称$a$，$b$是因子二次根式，$c$为因子.
(1) 请判断$-5\sqrt {10}+3\sqrt {11}$和$10\sqrt {10}+6\sqrt {11}$是否为因子二次根式. 如果是，求出因子；如果不是，请说明理由.
(2) 若$\sqrt {7}-1$与$n-\sqrt {7}$是因子二次根式，$3$为因子，求$n$的值.

答案： 【解析】：
(1) 计算$(-5\sqrt {10}+3\sqrt {11})(10\sqrt {10}+6\sqrt {11})$
$\begin{aligned}&(-5\sqrt {10}+3\sqrt {11})(10\sqrt {10}+6\sqrt {11})\\=&-5\sqrt {10}\times10\sqrt {10}-5\sqrt {10}\times6\sqrt {11}+3\sqrt {11}\times10\sqrt {10}+3\sqrt {11}\times6\sqrt {11}\\=&-50\times10-30\sqrt {110}+30\sqrt {110}+18\times11\\=&-500 + 198\\=&-302\end{aligned}$
因为$-302$是有理数，所以$-5\sqrt {10}+3\sqrt {11}$和$10\sqrt {10}+6\sqrt {11}$是因子二次根式，因子为$-302$。
(2) 因为$\sqrt {7}-1$与$n - \sqrt {7}$是因子二次根式，$3$为因子，所以$(\sqrt {7}-1)(n - \sqrt {7}) = 3$。
展开式子得$n\sqrt {7}-7 - n+\sqrt {7}=3$，即$(n + 1)\sqrt {7}-n - 7 = 3$。
因为结果是有理数，所以$n + 1 = 0$时，式子可化为有理数方程，此时$n=-1$，代入$(n + 1)\sqrt {7}-n - 7 = 3$验证：
左边$=(-1 + 1)\sqrt {7}-(-1)-7=1 - 7=-6\neq3$，所以$n + 1\neq0$。
则$(n + 1)\sqrt {7}=n + 10$，因为$\sqrt {7}$是无理数，要使等式成立，则$n + 10$与$n + 1$的比值为$\sqrt {7}$，但我们可直接由$(\sqrt {7}-1)(n - \sqrt {7}) = 3$来求解$n$。
$\begin{aligned}n\sqrt {7}-7 - n+\sqrt {7}&=3\\n\sqrt {7}-n&=10 - \sqrt {7}\\n(\sqrt {7}-1)&=10 - \sqrt {7}\\n&=\frac{10 - \sqrt {7}}{\sqrt {7}-1}\\n&=\frac{(10 - \sqrt {7})(\sqrt {7}+1)}{(\sqrt {7}-1)(\sqrt {7}+1)}\\n&=\frac{10\sqrt {7}+10 - 7-\sqrt {7}}{7 - 1}\\n&=\frac{9\sqrt {7}+3}{6}\\n&=\frac{3\sqrt {7}+1}{2}\end{aligned}$
【答案】：
(1) 是，因子为$-302$；
(2)$n=\frac{3\sqrt {7}+1}{2}$