《2025年新课程暑假作业广西师范大学出版社八年级数学》

5. 如图4，在菱形$ABCD$中，对角线$AC$，$BD$相交于点$O$，$BD=8$，$AC=6$，$OE// AB$，交$BC$于点$E$，则$OE$的长为$\dfrac{5}{2}$.

答案： $\dfrac{5}{2}$

6. 对一张矩形纸片$ABCD$进行折叠，具体操作如下.
第一步：先对折，使$AD$与$BC$重合，得到折痕$MN$，展开.
第二步：再一次折叠，使点$A$落在$MN$上的点$A'$处，并使折痕经过点$B$，得到折痕$BE$，同时，得到线段$BA'$，$EA'$，展开，如图5①.
第三步：再沿$EA'$所在的直线折叠，点$B$落在$AD$上的点$B'$处，得到折痕$EF$，同时得到线段$B'F$，展开，如图5②.

（1）求$\angle ABE$的度数.$30^{\circ}$
（2）证明：四边形$BFB'E$为菱形.
证明：由折叠可知$BE = B'E$，$BF = B'F$，$\angle BEA=\angle B'EA$，$\angle A'EB=\angle A'EB'$。
因为$AD// BC$，所以$\angle B'EF=\angle EFB$。
又因为$\angle BEA=\angle B'EA$，$\angle A'EB=\angle A'EB'$，所以$\angle BEF=\angle B'EF$。
因为$\angle BEF=\angle B'EF$，$\angle B'EF=\angle EFB$，所以$\angle BEF=\angle EFB$，则$BE = BF$。
因为$BE = B'E$，$BF = B'F$，$BE = BF$，所以$BE = B'E = BF = B'F$。
根据菱形的判定定理：四边相等的四边形是菱形，所以四边形$BFB'E$为菱形。

答案： 【解析】：
（1）
因为对折$AD$与$BC$重合，折痕是$MN$，所以$MN$垂直平分$AB$，则$A'$是$MN$上一点，所以$BA' = A'A$。
由折叠可知$AB = A'B$，$\angle ABE=\angle A'BE$。
因为$AB = A'B$，$BA' = A'A$，所以$\triangle ABA'$是等边三角形，所以$\angle ABA' = 60^{\circ}$。
又因为$\angle ABE=\angle A'BE$，所以$\angle ABE=\frac{1}{2}\angle ABA' = 30^{\circ}$。
（2）
由折叠可知$BE = B'E$，$BF = B'F$，$\angle BEA=\angle B'EA$，$\angle A'EB=\angle A'EB'$。
因为$AD// BC$，所以$\angle B'EF=\angle EFB$。
又因为$\angle BEA=\angle B'EA$，$\angle A'EB=\angle A'EB'$，所以$\angle BEF=\angle B'EF$。
因为$\angle BEF=\angle B'EF$，$\angle B'EF=\angle EFB$，所以$\angle BEF=\angle EFB$，则$BE = BF$。
因为$BE = B'E$，$BF = B'F$，$BE = BF$，所以$BE = B'E = BF = B'F$。
根据菱形的判定定理：四边相等的四边形是菱形，所以四边形$BFB'E$为菱形。
【答案】：
（1）$30^{\circ}$
（2）四边形$BFB'E$为菱形。