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11. 【教材呈现】
下面是人教版八年级下册数学教材18.1.1平行四边形的性质中的部分内容.
|探究：如图9，在$□ ABCD$中，连接$AC$，$BD$，并设它们相交于点$O$，$OA$与$OC$，$OB$与$OD$有什么关系？|
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（1）如图10①，在$□ ABCD$中，$OA$与$OC$数量关系为
【性质应用】
（2）如图10②，$□ ABCD$的对角线$AC$，$BD$相交于点$O$，$EF$过点$O$且与$AD$，$BC$分别相交于点$E$，$F$. 连接$AF$，$CE$.
①求证：四边形$AECF$是平行四边形.
②若$EF\perp AC$，$\triangle ABF$周长是18，则$□ ABCD$的周长是
【拓展应用】
（3）如图10③，若四边形$ABCD$是平行四边形，过点$O$作直线$EF$分别交边$AD$，$BC$于点$E$，$F$，过点$O$作直线$GH$分别交边$AB$，$CD$于点$G$，$H$，且$S_{\text{四边形}AGOE}=\frac{1}{4}S_{□ ABCD}$. 若$AD=5$，$AB=3$，$BG=1$，则$AE=$
下面是人教版八年级下册数学教材18.1.1平行四边形的性质中的部分内容.
|探究：如图9，在$□ ABCD$中，连接$AC$，$BD$，并设它们相交于点$O$，$OA$与$OC$，$OB$与$OD$有什么关系？|
||--|--|
（1）如图10①，在$□ ABCD$中，$OA$与$OC$数量关系为
$OA=OC$
，$OB$与$OD$数量关系为$OB=OD$
.（直接写出结果）【性质应用】
（2）如图10②，$□ ABCD$的对角线$AC$，$BD$相交于点$O$，$EF$过点$O$且与$AD$，$BC$分别相交于点$E$，$F$. 连接$AF$，$CE$.
①求证：四边形$AECF$是平行四边形.
②若$EF\perp AC$，$\triangle ABF$周长是18，则$□ ABCD$的周长是
36
.【拓展应用】
（3）如图10③，若四边形$ABCD$是平行四边形，过点$O$作直线$EF$分别交边$AD$，$BC$于点$E$，$F$，过点$O$作直线$GH$分别交边$AB$，$CD$于点$G$，$H$，且$S_{\text{四边形}AGOE}=\frac{1}{4}S_{□ ABCD}$. 若$AD=5$，$AB=3$，$BG=1$，则$AE=$
1
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答案：
【解析】：
- （1）根据平行四边形的性质：平行四边形的对角线互相平分，可得$OA = OC$，$OB = OD$。
- （2）①证明：因为四边形$ABCD$是平行四边形，所以$AD// BC$，$OA = OC$，则$\angle OAE=\angle OCF$。
在$\triangle AOE$和$\triangle COF$中，$\begin{cases}\angle OAE=\angle OCF\\OA = OC\\\angle AOE=\angle COF\end{cases}$（对顶角相等），所以$\triangle AOE\cong\triangle COF(ASA)$，则$OE = OF$。
又因为$OA = OC$，根据“对角线互相平分的四边形是平行四边形”，所以四边形$AECF$是平行四边形。
②因为$EF\perp AC$，$OA = OC$，所以$EF$是$AC$的垂直平分线，则$AE = CE$。
$\triangle ABF$的周长$=AB + BF + AF=AB + BF + CE=AB + BC = 18$。
平行四边形$ABCD$的周长$=2(AB + BC)=2\times18 = 36$。
- （3）因为四边形$ABCD$是平行四边形，所以$S_{\triangle AOB}=\frac{1}{4}S_{\square ABCD}$。
已知$S_{\text{四边形}AGOE}=\frac{1}{4}S_{\square ABCD}$，所以$S_{\triangle AOB}=S_{\text{四边形}AGOE}$，即$S_{\triangle AOG}+S_{\triangle BOE}=S_{\triangle AOG}+S_{\triangle AOE}$，所以$S_{\triangle BOE}=S_{\triangle AOE}$。
因为$AB = 3$，$BG = 1$，所以$AG=AB - BG=3 - 1 = 2$。
过点$E$作$EM\perp AB$于点$M$，过点$O$作$ON\perp AB$于点$N$。
因为$O$是$AC$，$BD$中点，所以$ON$是$\triangle ABC$的中位线，$ON=\frac{1}{2}AD$（$AD$为平行四边形的边，这里$AD$与$BC$平行且相等，$ON$与$AD$的关系可通过中位线性质推导）。
$S_{\triangle AOE}=\frac{1}{2}AG\cdot EM$，$S_{\triangle BOE}=\frac{1}{2}BG\cdot EM$（同高$EM$），因为$S_{\triangle BOE}=S_{\triangle AOE}$，所以$AG = BG$不成立，我们换一种思路。
因为四边形$ABCD$是平行四边形，$O$是对角线交点，所以$\triangle AOE\cong\triangle COF$，$\triangle AOG\cong\triangle COH$，$\triangle BOF\cong\triangle DOE$，$\triangle BOG\cong\triangle DOH$。
$S_{\text{四边形}AGOE}=\frac{1}{4}S_{\square ABCD}$，则$S_{\triangle AOG}+S_{\triangle AOE}=\frac{1}{4}S_{\square ABCD}$。
因为$S_{\triangle AOB}=\frac{1}{4}S_{\square ABCD}$，所以$S_{\triangle AOG}+S_{\triangle BOE}=S_{\triangle AOG}+S_{\triangle AOE}$，即$S_{\triangle BOE}=S_{\triangle AOE}$。
又因为$\triangle AOE$和$\triangle BOE$的高相同（以$AB$为底，过$E$作$AB$的垂线为高），所以$AG = BG$不成立，利用面积关系$S_{\text{四边形}AGOE}=\frac{1}{4}S_{\square ABCD}$，$S_{\square ABCD}=AB\times h$（$h$为$AB$边上的高），$S_{\text{四边形}AGOE}=S_{\triangle AOG}+S_{\triangle AOE}$。
因为$O$是$BD$中点，$\triangle AOG$和$\triangle BOG$等底等高，$S_{\triangle AOG}=S_{\triangle BOG}$，同理$S_{\triangle AOE}=S_{\triangle DOE}$。
设$AE=x$，则$DE = 5 - x$。
$S_{\text{四边形}AGOE}=S_{\triangle AOG}+S_{\triangle AOE}$，$S_{\triangle AOG}=\frac{1}{2}AG\times\frac{1}{2}h$（$h$为平行四边形$AB$边上的高，$O$到$AB$距离是$\frac{1}{2}h$），$S_{\triangle AOE}=\frac{1}{2}AE\times\frac{1}{2}h$。
$S_{\square ABCD}=AB\times h = 3h$，$S_{\text{四边形}AGOE}=\frac{1}{4}\times3h$。
$AG = 2$，则$\frac{1}{2}\times2\times\frac{1}{2}h+\frac{1}{2}x\times\frac{1}{2}h=\frac{1}{4}\times3h$，两边同时除以$\frac{1}{2}h$得$2 + x = 3$，解得$x = 1$，即$AE = 1$。
【答案】：
（1）$OA = OC$；$OB = OD$
（2）①证明过程如上述解析；②$36$
（3）$1$
- （1）根据平行四边形的性质：平行四边形的对角线互相平分，可得$OA = OC$，$OB = OD$。
- （2）①证明：因为四边形$ABCD$是平行四边形，所以$AD// BC$，$OA = OC$，则$\angle OAE=\angle OCF$。
在$\triangle AOE$和$\triangle COF$中，$\begin{cases}\angle OAE=\angle OCF\\OA = OC\\\angle AOE=\angle COF\end{cases}$（对顶角相等），所以$\triangle AOE\cong\triangle COF(ASA)$，则$OE = OF$。
又因为$OA = OC$，根据“对角线互相平分的四边形是平行四边形”，所以四边形$AECF$是平行四边形。
②因为$EF\perp AC$，$OA = OC$，所以$EF$是$AC$的垂直平分线，则$AE = CE$。
$\triangle ABF$的周长$=AB + BF + AF=AB + BF + CE=AB + BC = 18$。
平行四边形$ABCD$的周长$=2(AB + BC)=2\times18 = 36$。
- （3）因为四边形$ABCD$是平行四边形，所以$S_{\triangle AOB}=\frac{1}{4}S_{\square ABCD}$。
已知$S_{\text{四边形}AGOE}=\frac{1}{4}S_{\square ABCD}$，所以$S_{\triangle AOB}=S_{\text{四边形}AGOE}$，即$S_{\triangle AOG}+S_{\triangle BOE}=S_{\triangle AOG}+S_{\triangle AOE}$，所以$S_{\triangle BOE}=S_{\triangle AOE}$。
因为$AB = 3$，$BG = 1$，所以$AG=AB - BG=3 - 1 = 2$。
过点$E$作$EM\perp AB$于点$M$，过点$O$作$ON\perp AB$于点$N$。
因为$O$是$AC$，$BD$中点，所以$ON$是$\triangle ABC$的中位线，$ON=\frac{1}{2}AD$（$AD$为平行四边形的边，这里$AD$与$BC$平行且相等，$ON$与$AD$的关系可通过中位线性质推导）。
$S_{\triangle AOE}=\frac{1}{2}AG\cdot EM$，$S_{\triangle BOE}=\frac{1}{2}BG\cdot EM$（同高$EM$），因为$S_{\triangle BOE}=S_{\triangle AOE}$，所以$AG = BG$不成立，我们换一种思路。
因为四边形$ABCD$是平行四边形，$O$是对角线交点，所以$\triangle AOE\cong\triangle COF$，$\triangle AOG\cong\triangle COH$，$\triangle BOF\cong\triangle DOE$，$\triangle BOG\cong\triangle DOH$。
$S_{\text{四边形}AGOE}=\frac{1}{4}S_{\square ABCD}$，则$S_{\triangle AOG}+S_{\triangle AOE}=\frac{1}{4}S_{\square ABCD}$。
因为$S_{\triangle AOB}=\frac{1}{4}S_{\square ABCD}$，所以$S_{\triangle AOG}+S_{\triangle BOE}=S_{\triangle AOG}+S_{\triangle AOE}$，即$S_{\triangle BOE}=S_{\triangle AOE}$。
又因为$\triangle AOE$和$\triangle BOE$的高相同（以$AB$为底，过$E$作$AB$的垂线为高），所以$AG = BG$不成立，利用面积关系$S_{\text{四边形}AGOE}=\frac{1}{4}S_{\square ABCD}$，$S_{\square ABCD}=AB\times h$（$h$为$AB$边上的高），$S_{\text{四边形}AGOE}=S_{\triangle AOG}+S_{\triangle AOE}$。
因为$O$是$BD$中点，$\triangle AOG$和$\triangle BOG$等底等高，$S_{\triangle AOG}=S_{\triangle BOG}$，同理$S_{\triangle AOE}=S_{\triangle DOE}$。
设$AE=x$，则$DE = 5 - x$。
$S_{\text{四边形}AGOE}=S_{\triangle AOG}+S_{\triangle AOE}$，$S_{\triangle AOG}=\frac{1}{2}AG\times\frac{1}{2}h$（$h$为平行四边形$AB$边上的高，$O$到$AB$距离是$\frac{1}{2}h$），$S_{\triangle AOE}=\frac{1}{2}AE\times\frac{1}{2}h$。
$S_{\square ABCD}=AB\times h = 3h$，$S_{\text{四边形}AGOE}=\frac{1}{4}\times3h$。
$AG = 2$，则$\frac{1}{2}\times2\times\frac{1}{2}h+\frac{1}{2}x\times\frac{1}{2}h=\frac{1}{4}\times3h$，两边同时除以$\frac{1}{2}h$得$2 + x = 3$，解得$x = 1$，即$AE = 1$。
【答案】：
（1）$OA = OC$；$OB = OD$
（2）①证明过程如上述解析；②$36$
（3）$1$
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