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勾股定理的逆定理
题设：如果三角形的三边长 $ a $，$ b $，$ c $ 满足
结论：那么这个三角形是直角三角形
应用
判定某一个三角形是否是直角三角形
能够成为直角三角形三边长的三个正整数，称为勾股数
题设：如果三角形的三边长 $ a $，$ b $，$ c $ 满足
$a^{2}+b^{2}=c^{2}$
结论：那么这个三角形是直角三角形
应用
判定某一个三角形是否是直角三角形
能够成为直角三角形三边长的三个正整数，称为勾股数
答案：
【解析】：勾股定理的逆定理是判断一个三角形是否为直角三角形的重要方法，其内容为如果三角形的三边长$a$，$b$，$c$满足$a^{2}+b^{2}=c^{2}$，那么这个三角形是直角三角形，所以此处应填$a^{2}+b^{2}=c^{2}$。
【答案】：$a^{2}+b^{2}=c^{2}$
【答案】：$a^{2}+b^{2}=c^{2}$
1. 五根小棒的长度（单位：cm）分别为 6，7，8，9，10，现从中选择三根，将它们首尾相接摆成三角形，其中能摆成直角三角形的是（
A. 6，7，8
B. 6，8，10
C. 7，8，9
D. 7，9，10
B
）.A. 6，7，8
B. 6，8，10
C. 7，8，9
D. 7，9，10
答案：
B
2. 如图 1，在高为 3 m、斜坡长为 5 m 的楼梯表面铺地毯，则地毯的长度至少需要（
A. 3 m
B. 4 m
C. 5 m
D. 7 m
D
）.A. 3 m
B. 4 m
C. 5 m
D. 7 m
答案：
D
3. 如图 2 所示的网格是正方形网格，网格中三条线段的端点均在格点上，以这三条线段为边的三角形是（
A. 锐角
B. 直角
C. 钝角
D. 无法判断
B
）三角形.A. 锐角
B. 直角
C. 钝角
D. 无法判断
答案：
B
4. 如图 3，在正方形 $ ABCD $ 中，$ E $ 为 $ BC $ 的中点，$ CF=\frac{1}{4}CD $，连接 $ AE $，$ AF $，$ EF $，设 $ CF = a $.
（1）线段 $ AE = $
（2）求证：$ AE \perp EF $.
（1）线段 $ AE = $
$2\sqrt{5}a$
，$ AF = $$5a$
，$ EF = $$\sqrt{5}a$
；（用含 $ a $ 的代数式表示）（2）求证：$ AE \perp EF $.
答案：
【解析】：
（1）
因为四边形$ABCD$是正方形，所以$AB = BC = CD = DA$，$\angle B=\angle C=\angle D = 90^{\circ}$。
已知$CF = a$，$CF=\frac{1}{4}CD$，则$CD = 4a$，所以$AB = BC = DA = 4a$，$BE = EC = 2a$，$DF = 3a$。
在$Rt\triangle ABE$中，根据勾股定理$AE=\sqrt{AB^{2}+BE^{2}}=\sqrt{(4a)^{2}+(2a)^{2}}=\sqrt{16a^{2}+4a^{2}}=\sqrt{20a^{2}} = 2\sqrt{5}a$。
在$Rt\triangle ADF$中，根据勾股定理$AF=\sqrt{AD^{2}+DF^{2}}=\sqrt{(4a)^{2}+(3a)^{2}}=\sqrt{16a^{2}+9a^{2}}=\sqrt{25a^{2}} = 5a$。
在$Rt\triangle ECF$中，根据勾股定理$EF=\sqrt{EC^{2}+CF^{2}}=\sqrt{(2a)^{2}+a^{2}}=\sqrt{4a^{2}+a^{2}}=\sqrt{5}a$。
（2）
由（1）可知$AE = 2\sqrt{5}a$，$EF=\sqrt{5}a$，$AF = 5a$。
计算$AE^{2}+EF^{2}=(2\sqrt{5}a)^{2}+(\sqrt{5}a)^{2}=20a^{2}+5a^{2}=25a^{2}$，$AF^{2}=(5a)^{2}=25a^{2}$。
所以$AE^{2}+EF^{2}=AF^{2}$，根据勾股定理的逆定理，可知$\triangle AEF$是直角三角形，且$\angle AEF = 90^{\circ}$，即$AE\perp EF$。
【答案】：
（1）$2\sqrt{5}a$，$5a$，$\sqrt{5}a$
（2）已证$AE\perp EF$
（1）
因为四边形$ABCD$是正方形，所以$AB = BC = CD = DA$，$\angle B=\angle C=\angle D = 90^{\circ}$。
已知$CF = a$，$CF=\frac{1}{4}CD$，则$CD = 4a$，所以$AB = BC = DA = 4a$，$BE = EC = 2a$，$DF = 3a$。
在$Rt\triangle ABE$中，根据勾股定理$AE=\sqrt{AB^{2}+BE^{2}}=\sqrt{(4a)^{2}+(2a)^{2}}=\sqrt{16a^{2}+4a^{2}}=\sqrt{20a^{2}} = 2\sqrt{5}a$。
在$Rt\triangle ADF$中，根据勾股定理$AF=\sqrt{AD^{2}+DF^{2}}=\sqrt{(4a)^{2}+(3a)^{2}}=\sqrt{16a^{2}+9a^{2}}=\sqrt{25a^{2}} = 5a$。
在$Rt\triangle ECF$中，根据勾股定理$EF=\sqrt{EC^{2}+CF^{2}}=\sqrt{(2a)^{2}+a^{2}}=\sqrt{4a^{2}+a^{2}}=\sqrt{5}a$。
（2）
由（1）可知$AE = 2\sqrt{5}a$，$EF=\sqrt{5}a$，$AF = 5a$。
计算$AE^{2}+EF^{2}=(2\sqrt{5}a)^{2}+(\sqrt{5}a)^{2}=20a^{2}+5a^{2}=25a^{2}$，$AF^{2}=(5a)^{2}=25a^{2}$。
所以$AE^{2}+EF^{2}=AF^{2}$，根据勾股定理的逆定理，可知$\triangle AEF$是直角三角形，且$\angle AEF = 90^{\circ}$，即$AE\perp EF$。
【答案】：
（1）$2\sqrt{5}a$，$5a$，$\sqrt{5}a$
（2）已证$AE\perp EF$
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