《2025年快乐暑假天天练八年级数学》

3. 1 号探测气球从海拔 5 m 处出发,以 1 m/min 的速度上升,与此同时,2 号探测气球从海拔 15 m 处出发,以 0.5 m/min 的速度上升. 两个气球都匀速上升了 50 min. 设气球上升的时间为 $ x(0 \leq x \leq 50) $ min.
(1) 根据题意,填写下表:

(2) 在某时刻两个气球能否位于同一高度? 如果能,这时气球上升了多长时间? 位于什么高度? 如果不能,请说明理由.
(3) 当 $ 30 \leq x \leq 50 $ 时,两个气球所在位置的海拔最多相差多少米?

答案： 【解析】：
(1)
1号探测气球从海拔$5m$处出发，速度是$1m/min$，上升时间为$x$分钟，根据“路程$=$速度$\times$时间”，则$1$号探测气球所在位置的海拔为$(5 + x)$ $m$。
当$x = 30$时，$5+30=35$ $m$。
2号探测气球从海拔$15m$处出发，速度是$0.5m/min$，上升时间为$x$分钟，则$2$号探测气球所在位置的海拔为$(15 + 0.5x)$ $m$。
当$x = 10$时，$15+0.5\times10=15 + 5=20$ $m$。
(2)
若两个气球位于同一高度，则$5 + x=15 + 0.5x$。
移项可得：$x-0.5x=15 - 5$。
合并同类项：$0.5x=10$，解得$x = 20$。
把$x = 20$代入$5 + x$，得$5+20=25$ $m$。
(3)
设两个气球所在位置的海拔差为$y$ $m$。
$y=(5 + x)-(15 + 0.5x)=5 + x-15 - 0.5x=0.5x-10$。
因为$0.5\gt0$，所以$y$随$x$的增大而增大。
当$x = 50$时，$y$有最大值，$y=0.5\times50-10=25 - 10=15$ $m$。
【答案】：
(1) $35$；$5 + x$；$20$；$15 + 0.5x$
(2) 能，这时气球上升了$20min$，位于海拔$25m$的高度。
(3) $15$米。

四、思考并解答
如图,直线 $ l_1,l_2 $ 交于点 $ A $,直线 $ l_2 $ 与 $ x $ 轴、 $ y $ 轴分别交于点 $ B(-4,0),D(0,4) $,直线 $ l_1 $ 所对应的函数表达式为 $ y = - 2x - 2 $,且与 $ x $ 轴交于点 $ C $.
1. 求点 $ C $ 的坐标及直线 $ l_2 $ 所对应的函数表达式;
2. 求 $ \triangle ABC $ 的面积;
3. $ P $ 是线段 $ BD $ 上的一个动点(点 $ P $ 与 $ B,D $ 不重合). 设点 $ P $ 的坐标为 $ (m,n) $, $ \triangle PBC $ 的面积为 $ S $,请直接写出 $ S $ 与 $ m $ 的函数表达式(不要求写出自变量 $ m $ 的取值范围).

答案： 【解析】：
1. 对于直线$l_1:y = - 2x - 2$，令$y = 0$，则$0=-2x - 2$，解得$x=-1$，所以点$C$的坐标为$(-1,0)$。
设直线$l_2$的函数表达式为$y = kx + b$，把$B(-4,0)$，$D(0,4)$代入可得$\begin{cases}-4k + b = 0\\b = 4\end{cases}$，将$b = 4$代入$-4k + b = 0$，得$-4k+4 = 0$，$4k = 4$，解得$k = 1$，所以直线$l_2$的函数表达式为$y = x + 4$。
2. 联立$\begin{cases}y=-2x - 2\\y = x + 4\end{cases}$，即$-2x - 2=x + 4$，$-2x-x=4 + 2$，$-3x=6$，解得$x=-2$，把$x=-2$代入$y = x + 4$得$y=-2 + 4=2$，所以$A(-2,2)$。
$BC=\vert-1-(-4)\vert=\vert-1 + 4\vert = 3$，点$A$到$x$轴的距离$h = 2$，根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}\times底\times高$，$\triangle ABC$的面积$S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}\times BC\times\vert y_{A}\vert=\frac{1}{2}\times3\times2 = 3$。
3. 因为点$P(m,n)$在$l_2:y = x + 4$上，所以$n=m + 4$。
$BC = 3$，$\triangle PBC$以$BC$为底，$P$点纵坐标的绝对值为高（$P$在$x$轴上方，$n＞0$），$S=\frac{1}{2}\times BC\times n$，把$BC = 3$，$n=m + 4$代入得$S=\frac{1}{2}\times3\times(m + 4)=\frac{3}{2}m+6$。
【答案】：
1. $C(-1,0)$，$y = x + 4$；
2. $3$；
3. $S=\frac{3}{2}m + 6$。