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2. 甲、乙两名射击运动员进行射击比赛,两人在相同条件下各射击10次,射击的成绩如图所示。
根据图中信息,回答下列问题：
(1)甲的平均数是______,乙的中位数是______；
(2)分别计算甲、乙成绩的方差,从计算结果来分析,你认为哪位运动员的射击成绩更稳定？
(实线表示甲,虚线表示乙)
根据图中信息,回答下列问题：
(1)甲的平均数是______,乙的中位数是______；
(2)分别计算甲、乙成绩的方差,从计算结果来分析,你认为哪位运动员的射击成绩更稳定？
(实线表示甲,虚线表示乙)
答案：
【解析】：
### （1）计算甲的平均数和乙的中位数
**计算甲的平均数：**
根据平均数公式$\bar{x}=\frac{x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n}}{n}$（其中$n$是数据个数，$x_{i}$是第$i$个数据）。
甲射击$10$次的成绩分别为$6$、$10$、$8$、$9$、$8$、$7$、$8$、$10$、$7$、$7$。
则甲的平均数$\bar{x}_{甲}=\frac{6 + 10 + 8 + 9 + 8 + 7 + 8 + 10 + 7 + 7}{10}=\frac{80}{10}=8$。
**计算乙的中位数：**
将乙射击$10$次的成绩（从小到大排列）：$7$、$7$、$7$、$7$、$8$、$8$、$9$、$9$、$9$、$10$。
中位数是按顺序排列的一组数据中居于中间位置的数，如果数据有奇数个，则正中间的数字为中位数；如果数据有偶数个，则中间两位数的平均数为中位数。
这里$n = 10$（偶数），所以乙的中位数是$\frac{8 + 8}{2}=7.5$。
### （2）计算甲、乙成绩的方差并比较稳定性
**计算甲成绩的方差：**
根据方差公式$s^{2}=\frac{1}{n}[(x_{1}-\bar{x})^{2}+(x_{2}-\bar{x})^{2}+\cdots+(x_{n}-\bar{x})^{2}]$。
$\bar{x}_{甲}=8$，$n = 10$。
$(6 - 8)^{2}+(10 - 8)^{2}+(8 - 8)^{2}+(9 - 8)^{2}+(8 - 8)^{2}+(7 - 8)^{2}+(8 - 8)^{2}+(10 - 8)^{2}+(7 - 8)^{2}+(7 - 8)^{2}$
$=(-2)^{2}+2^{2}+0^{2}+1^{2}+0^{2}+(-1)^{2}+0^{2}+2^{2}+(-1)^{2}+(-1)^{2}$
$=4 + 4+0 + 1+0 + 1+0 + 4+1 + 1=16$。
则$s_{甲}^{2}=\frac{16}{10}=1.6$。
**计算乙成绩的平均数：**
乙射击$10$次的成绩分别为$7$、$7$、$7$、$7$、$8$、$8$、$9$、$9$、$9$、$10$。
$\bar{x}_{乙}=\frac{7 + 7 + 7 + 7 + 8 + 8 + 9 + 9 + 9 + 10}{10}=\frac{80}{10}=8$。
**计算乙成绩的方差：**
$(7 - 8)^{2}+(7 - 8)^{2}+(7 - 8)^{2}+(7 - 8)^{2}+(8 - 8)^{2}+(8 - 8)^{2}+(9 - 8)^{2}+(9 - 8)^{2}+(9 - 8)^{2}+(10 - 8)^{2}$
$=(-1)^{2}+(-1)^{2}+(-1)^{2}+(-1)^{2}+0^{2}+0^{2}+1^{2}+1^{2}+1^{2}+2^{2}$
$=1 + 1+1 + 1+0 + 0+1 + 1+1 + 4 = 12$。
则$s_{乙}^{2}=\frac{12}{10}=1.2$。
因为方差越小，数据的波动越小，成绩越稳定，$s_{甲}^{2}=1.6$，$s_{乙}^{2}=1.2$，$s_{甲}^{2}＞s_{乙}^{2}$，所以乙运动员的射击成绩更稳定。
【答案】：
(1)$8$；$7.5$
(2)甲成绩的方差$s_{甲}^{2}=1.6$，乙成绩的方差$s_{乙}^{2}=1.2$，乙运动员的射击成绩更稳定。
### （1）计算甲的平均数和乙的中位数
**计算甲的平均数：**
根据平均数公式$\bar{x}=\frac{x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n}}{n}$（其中$n$是数据个数，$x_{i}$是第$i$个数据）。
甲射击$10$次的成绩分别为$6$、$10$、$8$、$9$、$8$、$7$、$8$、$10$、$7$、$7$。
则甲的平均数$\bar{x}_{甲}=\frac{6 + 10 + 8 + 9 + 8 + 7 + 8 + 10 + 7 + 7}{10}=\frac{80}{10}=8$。
**计算乙的中位数：**
将乙射击$10$次的成绩（从小到大排列）：$7$、$7$、$7$、$7$、$8$、$8$、$9$、$9$、$9$、$10$。
中位数是按顺序排列的一组数据中居于中间位置的数，如果数据有奇数个，则正中间的数字为中位数；如果数据有偶数个，则中间两位数的平均数为中位数。
这里$n = 10$（偶数），所以乙的中位数是$\frac{8 + 8}{2}=7.5$。
### （2）计算甲、乙成绩的方差并比较稳定性
**计算甲成绩的方差：**
根据方差公式$s^{2}=\frac{1}{n}[(x_{1}-\bar{x})^{2}+(x_{2}-\bar{x})^{2}+\cdots+(x_{n}-\bar{x})^{2}]$。
$\bar{x}_{甲}=8$，$n = 10$。
$(6 - 8)^{2}+(10 - 8)^{2}+(8 - 8)^{2}+(9 - 8)^{2}+(8 - 8)^{2}+(7 - 8)^{2}+(8 - 8)^{2}+(10 - 8)^{2}+(7 - 8)^{2}+(7 - 8)^{2}$
$=(-2)^{2}+2^{2}+0^{2}+1^{2}+0^{2}+(-1)^{2}+0^{2}+2^{2}+(-1)^{2}+(-1)^{2}$
$=4 + 4+0 + 1+0 + 1+0 + 4+1 + 1=16$。
则$s_{甲}^{2}=\frac{16}{10}=1.6$。
**计算乙成绩的平均数：**
乙射击$10$次的成绩分别为$7$、$7$、$7$、$7$、$8$、$8$、$9$、$9$、$9$、$10$。
$\bar{x}_{乙}=\frac{7 + 7 + 7 + 7 + 8 + 8 + 9 + 9 + 9 + 10}{10}=\frac{80}{10}=8$。
**计算乙成绩的方差：**
$(7 - 8)^{2}+(7 - 8)^{2}+(7 - 8)^{2}+(7 - 8)^{2}+(8 - 8)^{2}+(8 - 8)^{2}+(9 - 8)^{2}+(9 - 8)^{2}+(9 - 8)^{2}+(10 - 8)^{2}$
$=(-1)^{2}+(-1)^{2}+(-1)^{2}+(-1)^{2}+0^{2}+0^{2}+1^{2}+1^{2}+1^{2}+2^{2}$
$=1 + 1+1 + 1+0 + 0+1 + 1+1 + 4 = 12$。
则$s_{乙}^{2}=\frac{12}{10}=1.2$。
因为方差越小，数据的波动越小，成绩越稳定，$s_{甲}^{2}=1.6$，$s_{乙}^{2}=1.2$，$s_{甲}^{2}＞s_{乙}^{2}$，所以乙运动员的射击成绩更稳定。
【答案】：
(1)$8$；$7.5$
(2)甲成绩的方差$s_{甲}^{2}=1.6$，乙成绩的方差$s_{乙}^{2}=1.2$，乙运动员的射击成绩更稳定。
3. 我市某中学举行“中国梦·校园好声音”歌手大赛,初、高中部根据初赛成绩,各选出5名选手组成初中代表队和高中代表队参加学校决赛。两个队各选出的5名选手的决赛成绩如图所示。
(1)根据图示填写下表：
(2)结合两队成绩的平均数和中位数,分析哪个队的决赛成绩较好；
(3)计算两队决赛成绩的方差并判断哪一个代表队选手的成绩较为稳定。
(1)根据图示填写下表：
(2)结合两队成绩的平均数和中位数,分析哪个队的决赛成绩较好；
(3)计算两队决赛成绩的方差并判断哪一个代表队选手的成绩较为稳定。
答案：
【解析】：
(1) 初中代表队平均数：$(75 + 80 + 85 + 85 + 100)\div5 = 85$（分），众数是$85$分；高中代表队成绩从小到大排列为$70$，$75$，$80$，$100$，$100$，中位数是$80$分。
(2) 平均数相同，初中队中位数$85$分大于高中队中位数$80$分，所以初中队成绩较好。
(3) 初中队方差$S_{初中}^{2}=\frac{1}{5}[(75 - 85)^{2}+(80 - 85)^{2}+(85 - 85)^{2}+(85 - 85)^{2}+(100 - 85)^{2}] = 70$；高中队方差$S_{高中}^{2}=\frac{1}{5}[(70 - 85)^{2}+(75 - 85)^{2}+(80 - 85)^{2}+(100 - 85)^{2}+(100 - 85)^{2}] = 160$。方差越小成绩越稳定，所以初中代表队选手成绩较为稳定。
【答案】：
(1) $85$；$85$；$80$
(2) 初中队
(3) 初中队方差$70$，高中队方差$160$，初中代表队
(1) 初中代表队平均数：$(75 + 80 + 85 + 85 + 100)\div5 = 85$（分），众数是$85$分；高中代表队成绩从小到大排列为$70$，$75$，$80$，$100$，$100$，中位数是$80$分。
(2) 平均数相同，初中队中位数$85$分大于高中队中位数$80$分，所以初中队成绩较好。
(3) 初中队方差$S_{初中}^{2}=\frac{1}{5}[(75 - 85)^{2}+(80 - 85)^{2}+(85 - 85)^{2}+(85 - 85)^{2}+(100 - 85)^{2}] = 70$；高中队方差$S_{高中}^{2}=\frac{1}{5}[(70 - 85)^{2}+(75 - 85)^{2}+(80 - 85)^{2}+(100 - 85)^{2}+(100 - 85)^{2}] = 160$。方差越小成绩越稳定，所以初中代表队选手成绩较为稳定。
【答案】：
(1) $85$；$85$；$80$
(2) 初中队
(3) 初中队方差$70$，高中队方差$160$，初中代表队
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