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2. 如图,正方形 $ABCD$ 的对角线 $AC,BD$ 相交于点 $O,E$ 是 $OC$ 上一点,连接 $EB$. 过点 $A$ 作 $AM \perp BE$,垂足为 $M,AM$ 与 $BD$ 交于点 $F$. 求证:$OE = OF$.
答案：
【解析】：
本题可通过证明$\triangle AOF$和$\triangle BOE$全等，从而得出$OE = OF$。
- **步骤一：分析正方形的性质**
因为四边形$ABCD$是正方形，根据正方形的性质可知：
$AC\perp BD$，即$\angle AOF=\angle BOE = 90^{\circ}$；
$OA = OB$；
$\angle FAO+\angle AFO = 90^{\circ}$。
- **步骤二：推导$\angle FAO$与$\angle EBO$的关系**
已知$AM\perp BE$，所以$\angle EBM+\angle BFM = 90^{\circ}$。
又因为$\angle AFO=\angle BFM$（对顶角相等），所以$\angle FAO+\angle AFO=\angle EBM+\angle BFM$，由此可得$\angle FAO=\angle EBO$。
- **步骤三：证明$\triangle AOF\cong\triangle BOE$**
在$\triangle AOF$和$\triangle BOE$中：
$\begin{cases}\angle FAO=\angle EBO\\OA = OB\\\angle AOF=\angle BOE\end{cases}$
根据“角 - 边 - 角”（$ASA$）全等判定定理，可得$\triangle AOF\cong\triangle BOE$。
- **步骤四：根据全等三角形的性质得出结论**
因为全等三角形的对应边相等，$\triangle AOF\cong\triangle BOE$，所以$OE = OF$。
【答案】：
在正方形$ABCD$中，$AC\perp BD$，$OA = OB$，$\angle AOF=\angle BOE = 90^{\circ}$，$\angle FAO+\angle AFO = 90^{\circ}$。
因为$AM\perp BE$，所以$\angle EBM+\angle BFM = 90^{\circ}$，又$\angle AFO=\angle BFM$，所以$\angle FAO=\angle EBO$。
在$\triangle AOF$和$\triangle BOE$中，$\begin{cases}\angle FAO=\angle EBO\\OA = OB\\\angle AOF=\angle BOE\end{cases}$，所以$\triangle AOF\cong\triangle BOE(ASA)$，则$OE = OF$。
本题可通过证明$\triangle AOF$和$\triangle BOE$全等，从而得出$OE = OF$。
- **步骤一：分析正方形的性质**
因为四边形$ABCD$是正方形，根据正方形的性质可知：
$AC\perp BD$，即$\angle AOF=\angle BOE = 90^{\circ}$；
$OA = OB$；
$\angle FAO+\angle AFO = 90^{\circ}$。
- **步骤二：推导$\angle FAO$与$\angle EBO$的关系**
已知$AM\perp BE$，所以$\angle EBM+\angle BFM = 90^{\circ}$。
又因为$\angle AFO=\angle BFM$（对顶角相等），所以$\angle FAO+\angle AFO=\angle EBM+\angle BFM$，由此可得$\angle FAO=\angle EBO$。
- **步骤三：证明$\triangle AOF\cong\triangle BOE$**
在$\triangle AOF$和$\triangle BOE$中：
$\begin{cases}\angle FAO=\angle EBO\\OA = OB\\\angle AOF=\angle BOE\end{cases}$
根据“角 - 边 - 角”（$ASA$）全等判定定理，可得$\triangle AOF\cong\triangle BOE$。
- **步骤四：根据全等三角形的性质得出结论**
因为全等三角形的对应边相等，$\triangle AOF\cong\triangle BOE$，所以$OE = OF$。
【答案】：
在正方形$ABCD$中，$AC\perp BD$，$OA = OB$，$\angle AOF=\angle BOE = 90^{\circ}$，$\angle FAO+\angle AFO = 90^{\circ}$。
因为$AM\perp BE$，所以$\angle EBM+\angle BFM = 90^{\circ}$，又$\angle AFO=\angle BFM$，所以$\angle FAO=\angle EBO$。
在$\triangle AOF$和$\triangle BOE$中，$\begin{cases}\angle FAO=\angle EBO\\OA = OB\\\angle AOF=\angle BOE\end{cases}$，所以$\triangle AOF\cong\triangle BOE(ASA)$，则$OE = OF$。
3. 小红星期天从家里出发骑自行车去舅舅家做客,当她骑行了一段时间后,想起要买个礼物送给表弟,于是又折回到刚刚经过的一家商店,买好礼物后又继续骑自行车去舅舅家,以下是她本次去舅舅家所用的时间与路程的关系式示意图. 根据图中提供的信息回答下列问题:
(1) 小红家到舅舅家的路程是____米,小红在商店停留了____分钟;
(2) 在去舅舅家的整个途中,哪个时间段小红骑自行车速度最快? 最快的速度是多少米/分?
(3) 本次去舅舅家的行程中,小红一共骑行了多少米? 一共用了多少分钟?
(1) 小红家到舅舅家的路程是____米,小红在商店停留了____分钟;
(2) 在去舅舅家的整个途中,哪个时间段小红骑自行车速度最快? 最快的速度是多少米/分?
(3) 本次去舅舅家的行程中,小红一共骑行了多少米? 一共用了多少分钟?
答案：
【解析】：
(1) 从图象的纵坐标可以看出，小红家到舅舅家的路程是$1500$米。
从图象的横坐标可以看出，$8$分钟到$12$分钟路程没有变化，所以小红在商店停留的时间为$12 - 8 = 4$分钟。
(2) 速度$=$路程$\div$时间。
$0 - 4$分钟，速度为$1200\div4 = 300$（米/分）；
$4 - 8$分钟，路程从$1200$米变为$600$米，行驶的路程是$1200 - 600 = 600$米，速度为$600\div(8 - 4)= 150$（米/分）；
$12 - 14$分钟，路程从$600$米变为$1500$米，行驶的路程是$1500 - 600 = 900$米，速度为$900\div(14 - 12)= 450$（米/分）。
比较$300$、$150$、$450$的大小，$450\gt300\gt150$，所以$12 - 14$分钟这个时间段小红骑自行车速度最快，最快速度是$450$米/分。
(3) 一共骑行的路程：$1200+(1200 - 600)+(1500 - 600)=1200 + 600+900 = 2700$（米）。
从图象横坐标可知一共用了$14$分钟。
【答案】：
(1)$1500$，$4$；
(2)$12 - 14$分钟，$450$米/分；
(3)$2700$米，$14$分钟。
(1) 从图象的纵坐标可以看出，小红家到舅舅家的路程是$1500$米。
从图象的横坐标可以看出，$8$分钟到$12$分钟路程没有变化，所以小红在商店停留的时间为$12 - 8 = 4$分钟。
(2) 速度$=$路程$\div$时间。
$0 - 4$分钟，速度为$1200\div4 = 300$（米/分）；
$4 - 8$分钟，路程从$1200$米变为$600$米，行驶的路程是$1200 - 600 = 600$米，速度为$600\div(8 - 4)= 150$（米/分）；
$12 - 14$分钟，路程从$600$米变为$1500$米，行驶的路程是$1500 - 600 = 900$米，速度为$900\div(14 - 12)= 450$（米/分）。
比较$300$、$150$、$450$的大小，$450\gt300\gt150$，所以$12 - 14$分钟这个时间段小红骑自行车速度最快，最快速度是$450$米/分。
(3) 一共骑行的路程：$1200+(1200 - 600)+(1500 - 600)=1200 + 600+900 = 2700$（米）。
从图象横坐标可知一共用了$14$分钟。
【答案】：
(1)$1500$，$4$；
(2)$12 - 14$分钟，$450$米/分；
(3)$2700$米，$14$分钟。
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