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6. 规定:在平面直角坐标系内,某直线$l_{1}$绕原点O顺时针旋转$90^{\circ }$,得到的直线$l_{2}称为l_{1}$的“旋转垂线”.
(1)求直线$y= -x+5$的“旋转垂线”的解析式;
(2)若直线$y= k_{1}x+b_{1}(k_{1}≠0,b_{1}≠0)$的“旋转垂线”为直线$y= k_{2}x+b_{2}$,求证:$k_{1}\cdot k_{2}= -1$;
(3)如图,在平面直角坐标系中,点$A(6,0)$、点$B(0,2)$,点P是直线$y= -x-1$上一点,$∠ABP= 45^{\circ }$,求点P的坐标.
(1)求直线$y= -x+5$的“旋转垂线”的解析式;
(2)若直线$y= k_{1}x+b_{1}(k_{1}≠0,b_{1}≠0)$的“旋转垂线”为直线$y= k_{2}x+b_{2}$,求证:$k_{1}\cdot k_{2}= -1$;
(3)如图,在平面直角坐标系中,点$A(6,0)$、点$B(0,2)$,点P是直线$y= -x-1$上一点,$∠ABP= 45^{\circ }$,求点P的坐标.
答案：
【解析】：
### $(1)$求直线$y = -x + 5$的“旋转垂线”的解析式
在直线$y=-x + 5$上取两点$(0,5)$，$(5,0)$。
这两点绕原点$O$顺时针旋转$90^{\circ}$后得到的点坐标分别为$(5,0)$绕原点$O$顺时针旋转$90^{\circ}$得到$(0,-5)$；$(0,5)$绕原点$O$顺时针旋转$90^{\circ}$得到$(5,0)$。
设“旋转垂线”的解析式为$y=kx + b$，把$(0,-5)$，$(5,0)$代入$y=kx + b$得$\begin{cases}b=-5\\5k + b=0\end{cases}$，
将$b = -5$代入$5k + b=0$，得$5k-5 = 0$，解得$k = 1$。
所以直线$y=-x + 5$的“旋转垂线”的解析式为$y=x-5$。
### $(2)$证明$k_{1}\cdot k_{2}=-1$
在直线$y = k_{1}x + b_{1}(k_{1}\neq0,b_{1}\neq0)$上取两点$(0,b_{1})$，$(1,k_{1}+b_{1})$。
这两点绕原点$O$顺时针旋转$90^{\circ}$后得到的点坐标分别为$(b_{1},0)$，$(k_{1}+b_{1},-1)$。
把$(b_{1},0)$，$(k_{1}+b_{1},-1)$代入$y = k_{2}x + b_{2}$得$\begin{cases}k_{2}b_{1}+b_{2}=0\\k_{2}(k_{1}+b_{1})+b_{2}=-1\end{cases}$。
用$k_{2}(k_{1}+b_{1})+b_{2}=-1$减去$k_{2}b_{1}+b_{2}=0$得：
$\begin{aligned}k_{2}(k_{1}+b_{1})+b_{2}-(k_{2}b_{1}+b_{2})&=-1-0\\k_{2}k_{1}+k_{2}b_{1}+b_{2}-k_{2}b_{1}-b_{2}&=-1\\k_{1}k_{2}&=-1\end{aligned}$
### $(3)$求点$P$的坐标
设直线$BP$交$x$轴于点$M$，过点$A$作$AN\perp AB$交$BP$的延长线于点$N$，过点$N$作$NC\perp x$轴于点$C$。
因为$\angle ABP = 45^{\circ}$，$\angle BAN = 90^{\circ}$，所以$\triangle ABN$是等腰直角三角形，$AB = AN$。
已知$A(6,0)$，$B(0,2)$，则$OA = 6$，$OB = 2$，由勾股定理$AB=\sqrt{OA^{2}+OB^{2}}=\sqrt{6^{2}+2^{2}}=\sqrt{36 + 4}=2\sqrt{10}$，所以$AN = 2\sqrt{10}$。
因为$\angle ABO+\angle BAO = 90^{\circ}$，$\angle BAO+\angle NAC = 90^{\circ}$，所以$\angle ABO=\angle NAC$。
又因为$\angle AOB=\angle NCA = 90^{\circ}$，$AB = AN$，所以$\triangle AOB\cong\triangle NCA(AAS)$。
则$NC = OA = 6$，$AC = OB = 2$，所以$OC=OA + AC=6 + 2 = 8$，即$N(8,-6)$。
设直线$BN$的解析式为$y=mx + n$，把$B(0,2)$，$N(8,-6)$代入得$\begin{cases}n = 2\\8m + n=-6\end{cases}$，
将$n = 2$代入$8m + n=-6$，得$8m+2=-6$，$8m=-8$，解得$m=-1$。
所以直线$BN$的解析式为$y=-x + 2$。
联立$\begin{cases}y=-x + 2\\y=-x-1\end{cases}$，此方程组无解。
再设直线$BP$的“旋转垂线”为$y = x + c$，因为$\angle ABP = 45^{\circ}$，根据$(2)$的结论，直线$AB$：$y=-\frac{1}{3}x + 2$，设直线$BP$为$y = kx + 2$，由$k\times1=-1$（$1$是直线$y = x + c$的斜率），得$k=-1$，所以直线$BP$的解析式为$y=-x + 2$（前面已求此路不通，换思路）。
设$P(t,-t - 1)$，根据两点间距离公式$AB^{2}=40$，$BP^{2}=t^{2}+(-t - 1 - 2)^{2}=t^{2}+(t + 3)^{2}=2t^{2}+6t + 9$，$AP^{2}=(t - 6)^{2}+(-t - 1)^{2}=t^{2}-12t + 36+t^{2}+2t + 1=2t^{2}-10t + 37$。
因为$\angle ABP = 45^{\circ}$，根据余弦定理$AP^{2}=AB^{2}+BP^{2}-2AB\cdot BP\cdot\cos45^{\circ}$（计算复杂，换方法）。
因为直线$y=-x-1$的斜率$k=-1$，设直线$BP$的斜率为$k_{BP}$，由$\tan45^{\circ}=\left|\frac{k_{BP}-\left(-\frac{1}{3}\right)}{1+\left(-\frac{1}{3}\right)k_{BP}}\right|$（两直线夹角公式$\tan\alpha=\left|\frac{k_{1}-k_{2}}{1 + k_{1}k_{2}}\right|$），$1=\left|\frac{k_{BP}+\frac{1}{3}}{1-\frac{1}{3}k_{BP}}\right|$。
当$\frac{k_{BP}+\frac{1}{3}}{1-\frac{1}{3}k_{BP}}=1$时，$k_{BP}+\frac{1}{3}=1-\frac{1}{3}k_{BP}$，$\frac{4}{3}k_{BP}=\frac{2}{3}$，$k_{BP}=\frac{1}{2}$；
当$\frac{k_{BP}+\frac{1}{3}}{1-\frac{1}{3}k_{BP}}=-1$时，$k_{BP}+\frac{1}{3}=-1+\frac{1}{3}k_{BP}$，$\frac{2}{3}k_{BP}=-\frac{4}{3}$，$k_{BP}=-2$。
当$k_{BP}=\frac{1}{2}$时，直线$BP$：$y=\frac{1}{2}x + 2$，联立$\begin{cases}y=\frac{1}{2}x + 2\\y=-x-1\end{cases}$，解得$\begin{cases}x=-2\\y=1\end{cases}$（舍去，因为$P$在直线$y=-x - 1$上，且根据图形位置判断）。
当$k_{BP}=-2$时，直线$BP$：$y=-2x + 2$，联立$\begin{cases}y=-2x + 2\\y=-x-1\end{cases}$，
将$y=-x - 1$代入$y=-2x + 2$得：$-x - 1=-2x + 2$，$x = 3$，把$x = 3$代入$y=-x-1$得$y=-4$。
【答案】：
$(1)$$\boldsymbol{y=x - 5}$；
$(2)$证明过程如上述；
$(3)$$\boldsymbol{(3,-4)}$。
### $(1)$求直线$y = -x + 5$的“旋转垂线”的解析式
在直线$y=-x + 5$上取两点$(0,5)$，$(5,0)$。
这两点绕原点$O$顺时针旋转$90^{\circ}$后得到的点坐标分别为$(5,0)$绕原点$O$顺时针旋转$90^{\circ}$得到$(0,-5)$；$(0,5)$绕原点$O$顺时针旋转$90^{\circ}$得到$(5,0)$。
设“旋转垂线”的解析式为$y=kx + b$，把$(0,-5)$，$(5,0)$代入$y=kx + b$得$\begin{cases}b=-5\\5k + b=0\end{cases}$，
将$b = -5$代入$5k + b=0$，得$5k-5 = 0$，解得$k = 1$。
所以直线$y=-x + 5$的“旋转垂线”的解析式为$y=x-5$。
### $(2)$证明$k_{1}\cdot k_{2}=-1$
在直线$y = k_{1}x + b_{1}(k_{1}\neq0,b_{1}\neq0)$上取两点$(0,b_{1})$，$(1,k_{1}+b_{1})$。
这两点绕原点$O$顺时针旋转$90^{\circ}$后得到的点坐标分别为$(b_{1},0)$，$(k_{1}+b_{1},-1)$。
把$(b_{1},0)$，$(k_{1}+b_{1},-1)$代入$y = k_{2}x + b_{2}$得$\begin{cases}k_{2}b_{1}+b_{2}=0\\k_{2}(k_{1}+b_{1})+b_{2}=-1\end{cases}$。
用$k_{2}(k_{1}+b_{1})+b_{2}=-1$减去$k_{2}b_{1}+b_{2}=0$得：
$\begin{aligned}k_{2}(k_{1}+b_{1})+b_{2}-(k_{2}b_{1}+b_{2})&=-1-0\\k_{2}k_{1}+k_{2}b_{1}+b_{2}-k_{2}b_{1}-b_{2}&=-1\\k_{1}k_{2}&=-1\end{aligned}$
### $(3)$求点$P$的坐标
设直线$BP$交$x$轴于点$M$，过点$A$作$AN\perp AB$交$BP$的延长线于点$N$，过点$N$作$NC\perp x$轴于点$C$。
因为$\angle ABP = 45^{\circ}$，$\angle BAN = 90^{\circ}$，所以$\triangle ABN$是等腰直角三角形，$AB = AN$。
已知$A(6,0)$，$B(0,2)$，则$OA = 6$，$OB = 2$，由勾股定理$AB=\sqrt{OA^{2}+OB^{2}}=\sqrt{6^{2}+2^{2}}=\sqrt{36 + 4}=2\sqrt{10}$，所以$AN = 2\sqrt{10}$。
因为$\angle ABO+\angle BAO = 90^{\circ}$，$\angle BAO+\angle NAC = 90^{\circ}$，所以$\angle ABO=\angle NAC$。
又因为$\angle AOB=\angle NCA = 90^{\circ}$，$AB = AN$，所以$\triangle AOB\cong\triangle NCA(AAS)$。
则$NC = OA = 6$，$AC = OB = 2$，所以$OC=OA + AC=6 + 2 = 8$，即$N(8,-6)$。
设直线$BN$的解析式为$y=mx + n$，把$B(0,2)$，$N(8,-6)$代入得$\begin{cases}n = 2\\8m + n=-6\end{cases}$，
将$n = 2$代入$8m + n=-6$，得$8m+2=-6$，$8m=-8$，解得$m=-1$。
所以直线$BN$的解析式为$y=-x + 2$。
联立$\begin{cases}y=-x + 2\\y=-x-1\end{cases}$，此方程组无解。
再设直线$BP$的“旋转垂线”为$y = x + c$，因为$\angle ABP = 45^{\circ}$，根据$(2)$的结论，直线$AB$：$y=-\frac{1}{3}x + 2$，设直线$BP$为$y = kx + 2$，由$k\times1=-1$（$1$是直线$y = x + c$的斜率），得$k=-1$，所以直线$BP$的解析式为$y=-x + 2$（前面已求此路不通，换思路）。
设$P(t,-t - 1)$，根据两点间距离公式$AB^{2}=40$，$BP^{2}=t^{2}+(-t - 1 - 2)^{2}=t^{2}+(t + 3)^{2}=2t^{2}+6t + 9$，$AP^{2}=(t - 6)^{2}+(-t - 1)^{2}=t^{2}-12t + 36+t^{2}+2t + 1=2t^{2}-10t + 37$。
因为$\angle ABP = 45^{\circ}$，根据余弦定理$AP^{2}=AB^{2}+BP^{2}-2AB\cdot BP\cdot\cos45^{\circ}$（计算复杂，换方法）。
因为直线$y=-x-1$的斜率$k=-1$，设直线$BP$的斜率为$k_{BP}$，由$\tan45^{\circ}=\left|\frac{k_{BP}-\left(-\frac{1}{3}\right)}{1+\left(-\frac{1}{3}\right)k_{BP}}\right|$（两直线夹角公式$\tan\alpha=\left|\frac{k_{1}-k_{2}}{1 + k_{1}k_{2}}\right|$），$1=\left|\frac{k_{BP}+\frac{1}{3}}{1-\frac{1}{3}k_{BP}}\right|$。
当$\frac{k_{BP}+\frac{1}{3}}{1-\frac{1}{3}k_{BP}}=1$时，$k_{BP}+\frac{1}{3}=1-\frac{1}{3}k_{BP}$，$\frac{4}{3}k_{BP}=\frac{2}{3}$，$k_{BP}=\frac{1}{2}$；
当$\frac{k_{BP}+\frac{1}{3}}{1-\frac{1}{3}k_{BP}}=-1$时，$k_{BP}+\frac{1}{3}=-1+\frac{1}{3}k_{BP}$，$\frac{2}{3}k_{BP}=-\frac{4}{3}$，$k_{BP}=-2$。
当$k_{BP}=\frac{1}{2}$时，直线$BP$：$y=\frac{1}{2}x + 2$，联立$\begin{cases}y=\frac{1}{2}x + 2\\y=-x-1\end{cases}$，解得$\begin{cases}x=-2\\y=1\end{cases}$（舍去，因为$P$在直线$y=-x - 1$上，且根据图形位置判断）。
当$k_{BP}=-2$时，直线$BP$：$y=-2x + 2$，联立$\begin{cases}y=-2x + 2\\y=-x-1\end{cases}$，
将$y=-x - 1$代入$y=-2x + 2$得：$-x - 1=-2x + 2$，$x = 3$，把$x = 3$代入$y=-x-1$得$y=-4$。
【答案】：
$(1)$$\boldsymbol{y=x - 5}$；
$(2)$证明过程如上述；
$(3)$$\boldsymbol{(3,-4)}$。
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