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3. 学校新到一批实验器材需要整理,若实验管理员李老师一人单独整理需要$40$分钟完成,现在李老师与工人王师傅共同整理$20$分钟后,李老师因事外出,王师傅再单独整理了$20$分钟才完成任务.
(1) 王师傅单独整理这批实验器材需要多少分钟完成?
(2) 学校要求王师傅的工作时间不能超过$30$分钟,要完成整理这批器材,李老师至少要工作多少分钟?
(1) 王师傅单独整理这批实验器材需要多少分钟完成?
(2) 学校要求王师傅的工作时间不能超过$30$分钟,要完成整理这批器材,李老师至少要工作多少分钟?
答案：
【解析】：
(1)设王师傅单独整理这批实验器材需要$x$分钟完成，将工作总量看作单位“$1$”。
李老师一人单独整理需要$40$分钟完成，则李老师的工作效率为$\frac{1}{40}$，王师傅的工作效率为$\frac{1}{x}$。
根据题意，李老师与王师傅共同整理$20$分钟的工作量加上王师傅单独整理$20$分钟的工作量等于工作总量“$1$”，可列方程：
$20\times(\frac{1}{40}+\frac{1}{x}) + 20\times\frac{1}{x}=1$
$20\times\frac{1}{40}+20\times\frac{1}{x}+20\times\frac{1}{x}=1$
$\frac{1}{2}+\frac{20}{x}+\frac{20}{x}=1$
$\frac{40}{x}=1 - \frac{1}{2}$
$\frac{40}{x}=\frac{1}{2}$
$x = 80$
经检验，$x = 80$是原方程的解，且符合题意。
所以王师傅单独整理这批实验器材需要$80$分钟完成。
(2)设李老师要工作$y$分钟。
李老师的工作效率为$\frac{1}{40}$，王师傅的工作效率为$\frac{1}{80}$，王师傅工作时间不能超过$30$分钟。
李老师$y$分钟的工作量加上王师傅$30$分钟的工作量要大于等于工作总量“$1$”，可列不等式：
$\frac{1}{40}y+\frac{1}{80}\times30\geqslant1$
$\frac{1}{40}y+\frac{30}{80}\geqslant1$
$\frac{1}{40}y\geqslant1-\frac{30}{80}$
$\frac{1}{40}y\geqslant\frac{50}{80}$
$y\geqslant\frac{50}{80}\times40$
$y\geqslant25$
所以李老师至少要工作$25$分钟。
【答案】：
(1)$80$分钟；
(2)$25$分钟
(1)设王师傅单独整理这批实验器材需要$x$分钟完成，将工作总量看作单位“$1$”。
李老师一人单独整理需要$40$分钟完成，则李老师的工作效率为$\frac{1}{40}$，王师傅的工作效率为$\frac{1}{x}$。
根据题意，李老师与王师傅共同整理$20$分钟的工作量加上王师傅单独整理$20$分钟的工作量等于工作总量“$1$”，可列方程：
$20\times(\frac{1}{40}+\frac{1}{x}) + 20\times\frac{1}{x}=1$
$20\times\frac{1}{40}+20\times\frac{1}{x}+20\times\frac{1}{x}=1$
$\frac{1}{2}+\frac{20}{x}+\frac{20}{x}=1$
$\frac{40}{x}=1 - \frac{1}{2}$
$\frac{40}{x}=\frac{1}{2}$
$x = 80$
经检验，$x = 80$是原方程的解，且符合题意。
所以王师傅单独整理这批实验器材需要$80$分钟完成。
(2)设李老师要工作$y$分钟。
李老师的工作效率为$\frac{1}{40}$，王师傅的工作效率为$\frac{1}{80}$，王师傅工作时间不能超过$30$分钟。
李老师$y$分钟的工作量加上王师傅$30$分钟的工作量要大于等于工作总量“$1$”，可列不等式：
$\frac{1}{40}y+\frac{1}{80}\times30\geqslant1$
$\frac{1}{40}y+\frac{30}{80}\geqslant1$
$\frac{1}{40}y\geqslant1-\frac{30}{80}$
$\frac{1}{40}y\geqslant\frac{50}{80}$
$y\geqslant\frac{50}{80}\times40$
$y\geqslant25$
所以李老师至少要工作$25$分钟。
【答案】：
(1)$80$分钟；
(2)$25$分钟
四、阅读下面的材料,并解答问题
分式$\frac {2x+8}{x+2}(x≥0)$的最大值是多少?
解:$\frac {2x+8}{x+2}= \frac {2x+4+4}{x+2}= \frac {2(x+2)}{x+2}+\frac {4}{x+2}= 2+\frac {4}{x+2}$,
$\because x≥0$,$\therefore x+2的最小值是2$,$\therefore \frac {1}{x+2}的最大值是\frac {1}{2}$,
$\therefore 2+\frac {4}{x+2}的最大值是4$,即$\frac {2x+8}{x+2}(x≥0)的最大值是4$.
解答下列问题:
1. 分式$\frac {3x+7}{x-1}(x≥3)$的最大值是____.
2. 分式$\frac {2x^{2}+5}{x^{2}+1}$的最大值是____.
3. 分式$\frac {2x^{2}+5}{-x^{2}-1}$的最小值是____.
分式$\frac {2x+8}{x+2}(x≥0)$的最大值是多少?
解:$\frac {2x+8}{x+2}= \frac {2x+4+4}{x+2}= \frac {2(x+2)}{x+2}+\frac {4}{x+2}= 2+\frac {4}{x+2}$,
$\because x≥0$,$\therefore x+2的最小值是2$,$\therefore \frac {1}{x+2}的最大值是\frac {1}{2}$,
$\therefore 2+\frac {4}{x+2}的最大值是4$,即$\frac {2x+8}{x+2}(x≥0)的最大值是4$.
解答下列问题:
1. 分式$\frac {3x+7}{x-1}(x≥3)$的最大值是____.
2. 分式$\frac {2x^{2}+5}{x^{2}+1}$的最大值是____.
3. 分式$\frac {2x^{2}+5}{-x^{2}-1}$的最小值是____.
答案：
【解析】：
1. 对于分式$\frac{3x + 7}{x - 1}(x\geq3)$，将其变形为$\frac{3x - 3 + 10}{x - 1}=\frac{3(x - 1)}{x - 1}+\frac{10}{x - 1}=3+\frac{10}{x - 1}$。
因为$x\geq3$，所以$x - 1$的最小值是$3 - 1 = 2$，那么$\frac{1}{x - 1}$的最大值是$\frac{1}{2}$，所以$3+\frac{10}{x - 1}$的最大值是$3 + 10\times\frac{1}{2}=3 + 5 = 8$。
2. 对于分式$\frac{2x^{2}+5}{x^{2}+1}$，变形为$\frac{2x^{2}+2 + 3}{x^{2}+1}=\frac{2(x^{2}+1)}{x^{2}+1}+\frac{3}{x^{2}+1}=2+\frac{3}{x^{2}+1}$。
因为$x^{2}\geq0$，所以$x^{2}+1$的最小值是$1$，则$\frac{1}{x^{2}+1}$的最大值是$1$，所以$2+\frac{3}{x^{2}+1}$的最大值是$2 + 3\times1 = 5$。
3. 对于分式$\frac{2x^{2}+5}{-x^{2}-1}$，变形为$\frac{-2x^{2}-2 + 7}{-x^{2}-1}=\frac{-2(-x^{2}-1)}{-x^{2}-1}+\frac{7}{-x^{2}-1}=-2+\frac{7}{-x^{2}-1}$。
因为$x^{2}\geq0$，所以$-x^{2}-1$的最大值是$-1$，那么$\frac{1}{-x^{2}-1}$的最小值是$-1$，所以$-2+\frac{7}{-x^{2}-1}$的最小值是$-2 + 7\times(-1)=-2 - 7 = -9$。
【答案】：1. $8$ 2. $5$ 3. $-9$
1. 对于分式$\frac{3x + 7}{x - 1}(x\geq3)$，将其变形为$\frac{3x - 3 + 10}{x - 1}=\frac{3(x - 1)}{x - 1}+\frac{10}{x - 1}=3+\frac{10}{x - 1}$。
因为$x\geq3$，所以$x - 1$的最小值是$3 - 1 = 2$，那么$\frac{1}{x - 1}$的最大值是$\frac{1}{2}$，所以$3+\frac{10}{x - 1}$的最大值是$3 + 10\times\frac{1}{2}=3 + 5 = 8$。
2. 对于分式$\frac{2x^{2}+5}{x^{2}+1}$，变形为$\frac{2x^{2}+2 + 3}{x^{2}+1}=\frac{2(x^{2}+1)}{x^{2}+1}+\frac{3}{x^{2}+1}=2+\frac{3}{x^{2}+1}$。
因为$x^{2}\geq0$，所以$x^{2}+1$的最小值是$1$，则$\frac{1}{x^{2}+1}$的最大值是$1$，所以$2+\frac{3}{x^{2}+1}$的最大值是$2 + 3\times1 = 5$。
3. 对于分式$\frac{2x^{2}+5}{-x^{2}-1}$，变形为$\frac{-2x^{2}-2 + 7}{-x^{2}-1}=\frac{-2(-x^{2}-1)}{-x^{2}-1}+\frac{7}{-x^{2}-1}=-2+\frac{7}{-x^{2}-1}$。
因为$x^{2}\geq0$，所以$-x^{2}-1$的最大值是$-1$，那么$\frac{1}{-x^{2}-1}$的最小值是$-1$，所以$-2+\frac{7}{-x^{2}-1}$的最小值是$-2 + 7\times(-1)=-2 - 7 = -9$。
【答案】：1. $8$ 2. $5$ 3. $-9$
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